Školjka

%V0 Neka je $z= \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Izračunaj $$ z+z^2+z^3+z^4+\dots+z^k+\dots+z^{2010}. $$

%V0 Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje vrijedi $$ |z|=|z+1|=\left|\dfrac 1z \right|. $$

%V0 Neka su $x_1$, $x_2$ različita rješenja jednadžbe $2x^2-3x+4=0$. Izračunaj $\dfrac{1}{x_1^3}+\dfrac{1}{x_2^3}$.

%V0 Dani su kompleksni brojevi $z=7-i$, $w=-3+4i$. Odredi $\left| \dfrac{z^{20}}{{\overline{w}} ^{10}} \right|$.

%V0 Za koje sve kompleksne brojeve $z$ je broj $z^3$ realan i veći od $27$?

%V0 Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi za koje je $(i)$ $z_1z_2z_3 = 1$, $(ii)$ $z_1 + z_2 + z_3 = \dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2} + \dfrac{1}{z_3}$. Dokažite da je barem jedan od njih jednak $1$.