Školjka

%V0 Dani su kompleksni brojevi $z=\dfrac{2t-i}{t+i}$ za $t \in \mathbb{R}$. $a)$ Koje sve vrijednosti može poprimiti $|z|$? $b)$ Odredite skup parametara $t$ za koje vrijedi $$| 3 \, \mbox{Re} \, z + \mbox{Im} \, z| < 3 \text{.}$$

%V0 Odredite sva rješenja jednadžbe $x^4-x^3-10x^2+2x+4=0$.

%V0 Neka su $z_1$ i $z_2$ kompleksni brojevi modula $1$. Dokažite da je $$\dfrac{1-z_1z_2}{z_1-z_2}$$ realan broj.

%V0 Ako je $ax^3=by^3=cz^3 $ i $\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1}$, dokažite jednakost $$\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.$$

%V0 Riješite sustav jednadžbi: $$$\begin{align*} x_1+x_2+\ldots +x_n &= 9, \\ \displaystyle{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots +\dfrac{1}{x_n}}&=1, \end{align*}$$$ gdje je $n$ prirodan broj, a $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ su pozitivni realni brojevi.

%V0 Izračunajte vrijednost produkta $$$\begin{align*} &\left( 1+\frac{1+i}{2} \right) \left( 1+ \left( \frac{1+i}{2} \right)^2 \right) \left( 1+{\left( \frac{1+i}{2} \right)^2}^2 \right) \ldots \\ &\left( 1+{\left( \frac{1+i}{2} \right)^2}^k \right) \ldots \left( 1+{\left( \frac{1+i}{2} \right)^2}^{2001} \right) \text{.} \end{align*}$$$