Školjka

%V0 Dokažite da za sve realne brojeve $x, y$ vrijedi nejednakost: $$(x^2+y^2)^2-2xy(2x^2-3xy+2y^2)\geq0.$$ Kada vrijedi jednakost?

%V0 Odredi sve realne brojeve $a$ takve da, za svaki realan broj $x$, vrijedi $$ \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 3} > \dfrac{x + a}{1+x+x^2}. $$

%V0 U ovisnosti o pozitivnom realnom parametru $p$ riješi nejednadžbu $$ \dfrac{x}{p}-\dfrac{2p}{x}<2. $$

%V0 Riješite jednadžbu $$\frac{1}{2^{2x}+3} \ge \frac{1}{2^{x+2}-1}.$$

%V0 Dokažite da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{12}}{7} + \ldots + \frac{\sqrt{n(n + 1)}}{2n + 1} < \frac{n}{2}\text{.}$$

%V0 Ako su $u$ i $v$ kompleksni brojevi, dokaži nejednakost $$ (1+uv)(1+\bar{u}\bar{v})\leq (1+u\bar{u})(1+v\bar{v}). $$