Školjka

%V0 prva stvar: dokazati da $x>=0$ pretpostavimo da je $x<0$ neka je $t=1/2^x$ tada je $1/2^{2t+1}+1/2^{t}=n$, $neN$ odnosno $2^{2t+1}+2^t=n*2^{2t+1}*2^t$ lijeva strana daje $2^t$ pri djeljenu s brojem $2^{t+1}$, dok desna strana daje $0$ zbog toga ne postoji nti jedno rješenje jednadžbe ako je $x<0$ $1+2^x+2^{2x+1}=y^2$ $2^x(2^{x+1}+1)=(y-1)(y+1)$ ako nađem rješenja za $y>=0$, tada sam pronašao i rješenja za $y<=0$ pretpostavimo da je $y>=0$ $y-1$ i $y+1$ su 2 uzastopna parna prirodna broja, te je zato jedan djeljiv s $2$, a drugi s $2^{x-1}$ postoje 2 slučaja: 1) 1/ $y-1=2*n$ 2/ $y+1=2^{x-1}*m$ ako pišemo umjesto $y-1$ broj $2*n$ i umjesto $y+1$ broj $2^{x-1}*m$, množenjem se dobiva: 3/ $nm=2^{x+1}+1$ 1/ - 2/ ---> $2*n+2=2^{x-1}*m$ $n=2^{x-2}*m-1$ ako u 3/ umjesto n pišem gore navedeni izraz: $2^{x-2}*m^2-m=2^{x+1}+1$ $2^{x-2}(m^2-8)=m+1$ $m^2-8>=0$ $m>=3$ ako je $x=0$ jednadžba nema rješenja ako je $x>0$, tada je $m+1>=m^2-8$ jedino rješenje je $m=3$, zbog brzog rasta $m^2-8$ za $m=3$ se dobiva $x=4$, $y=+-23$ 2) 1/ $y-1=2^{x-1}*n$ 2/ $y+1=2*m$ ako pišemo umjesto $y+1$ broj $2*m$ i umjesto $y-1$ broj $2^{x-1}*n$, množenjem se dobiva 3/ $nm=2^{x+1}+1$ 1/ - 2/ --> $2*m-2=2^{x-1}*n$ $m=2^{x-2}*n+1$ u jednakost 3/ umjesto m pišem gore navedeni izraz: $2^{x-2}*n^2+n=2^{x+1}+1$ $n-1=2^{x-2}(8-n^2)$ za $n=0$ je lijeva strana negativna, a desna pozitivna za $n>=3$ je desna strana negativna, a lijeva pozitivna za $n=1$ nema rješenja za $n=2$ je rješenje $x=0$, $y=+-2$ zaključujem da su rješenja $x=0$, $y=+-2$ i $x=4$, $y=+-23$