Školjka

\textbf{Lemma 1}\\ Neka je $H$ ortocentar trokuta $ABC$ i neka je $\omega$ njegova opisana kružnica. Neka je $P$ polovište stranice $BC$. Ako je $K$ preslika točke $H$ preko točke $P$, onda $K$ leži na kružnici $\omega$ te je $AK$ promjer te kružnice.\\ \\ \emph{Dokaz}: Neka se točke nalaze u kompleksnoj ravnini te neka je $O$ ishodište navedene. Poznato je da je $h$ = $a+b+c$ te $p = \dfrac{b+c}{2}$. S obzirom da je $|PH| = |PK|$, $k = -a$ što direktno implicira da se točka nalazi na kružnici te da je $AK$ promjer kružnice.\\ \\ \textbf{Lemma 2}\\ Ako su $E$ i $F$ nožišta visina iz $B$ i $C$ redom te ako je $p$ pravac tangentan na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki A, onda je $p$ $ \|$ $EF$. \emph{Dokaz}: Neka je $J \equiv EF \cap BC$. Četverokut $EFBC$ je tetivan te vrijedi da je $\angle JFB = \angle C$. Po poučku o kutu između tangente i tetive vrijedi $\angle (p,AB) = \angle C$ odakle slijedi $p$ $ \|$ $EF$. \\ \\ \\ Neka je $P$ polovište stranice $BC$ te neka je $J \equiv EF \cap BC$. Uočimo da je točka $P$ središte tetivnog četverokuta $EFBC$. Primjenom Brokardovog teorema na četverokut $EFBC$, dobivamo da je $PH \perp AJ$, a kako su $P$, $H$ i $K$ kolinearne, vrijedi da je $HK \perp AJ$. Preostaje još pokazati da je $GM \perp AJ$. Promotrimo trokut $AJM$. U njemu imamo da je $AG \perp JM$ te vrijedi da je $JG \perp AM$ jer je $p \perp AM$, a također vrijedi $p \| EF$. Iz navedenog, možemo zaključiti da je $G$ ortocentar trokuta $AJM$ te vrijedi da je $GM \perp AJ$. Kako je $GM \perp AJ$ te $HK \perp AJ$, vrijedi $GM \| HK$ što je trebalo i dokazati.