Točno
9. rujna 2017. 00:07 (7 godine, 2 mjeseci)
Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ s visinama $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ te ortocentrom $H$. Dužine
$\overline{EF}$ i $\overline{AD}$ sijeku se u točki $G$. Dužina $\overline{AK}$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABC$ i
siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $M$. Dokaži da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka $T \in AK \cap EF$.
Pokažimo prvo $AK \perp EF$.
Imamo $|\angle FAT| = |\angle DAC|$ (poznata izogonalnost), ali $|\angle AFT| = 180^{\circ} - |\angle BFE| = |\angle DCA|$ jer je $BCEF$ tetivan, pa imamo $\triangle ACD \sim \triangle AFT$ pa $|\angle ATF| = |\angle ADC| = 90^{\circ}$ što je i trebalo dokazati.
Nadalje, $TMDG, BKTF, BDHF$ tetivni pa $|AH|\cdot|AD| = |AF| \cdot |AB| = |AT| \cdot |AK|$ pa $TKDH$ tetivan.
Prema tome:
$$|\angle TMG| = |\angle TDG| = |\angle TDH| = |\angle TKH|$$
$$GM || HK$$
što je i trebalo pokazati.
Školjka 
s visinama 
, 
i 
te ortocentrom 
. Dužine 
i 
. Dužina 
je promjer kružnice opisane trokutu 
u točki 
. Dokaži da su pravci 
i 
paralelni. 
.
.
(poznata izogonalnost), ali 
jer je 
tetivan, pa imamo 
pa 
što je i trebalo dokazati.
tetivni pa 
pa 
tetivan. Prema tome: 
što je i trebalo pokazati.