Školjka

%V0 Uočimo prvo da nam polovišta daju dosta informacija o konfiguraciji, imamo $KM||BQ$ odnosno $KM||AB$ odakle slijedi $\angle AQM = \angle QMK $ iz uvjeta tangentnosti $\angle QMK=\angle KLM$ odnosno imamo slijedeće zaključke $$\angle AQM = \angle KLM \quad \textrm{i analogno} \quad \angle APM= \angle LKM $$ Što implicira $$\triangle AQP \sim \triangle KLM $$ Pa povlačimo slijedeće odnose $$ \frac{AQ}{ML}=\frac{AP}{MK} , \quad \quad \frac{PC}{ML}=\frac{QB}{MK} $$ Prvi odnos slijedi iz sličnosti danih trokuta, dok drugi slijedi iz prvobitnog zaključka o paralelnosti odnosno da je $MK=\frac{1}{2}QB$ srednjica trokuta $\triangle QBP$. Kombiniranjem dobivenog imamo $$QA\cdot QB =PA \cdot PC $$ dakle $P$ i $Q$ imaju jednaku potenciju na opisanu kružnicu $\triangle ABC$ . $$Pow_{\Omega}(Q)=Pow_{\Omega}(P)$$ $$R^2-OQ^2=R^2-OP^2$$ Odnosno $$OP=OQ $$