Točno
17. ožujka 2018. 14:46 (6 godine, 4 mjeseci)
Dan je šiljastokutni trokut u kojem vrijedi
. Neka je
središte kružnice opisane tom trokutu, a
promjer kružnice opisane trokutu
. Pravac paralelan s pravcem
kroz
siječe pravac
u točki
, a pravac paralelan s pravcem
kroz
siječe pravac
u točki
. Neka je
presjek pravaca
i
. Dokaži da točka
leži na kružnici opisanoj trokutu
.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je
presjek
i
. Kako su
i
trivijalno sukladni slijedi da je
polovište
. Neka je
presjek
i
. Kako je
paralelogram je
polovište
.
Lako se dobije
pa su
i
tangente na
. Tada je
simedijana
te po njenoj definiciji
.
Dobije se i
i
iz čega slijedi da su
i
slični. Kako je
težišnica
slijedi
.
Zaključujemo da je
tetivan pa je
te su zatim
i
konciklične.
![R](/media/m/4/d/7/4d76ce566584cfe8ff88e5f3e8b8e823.png)
![OQ](/media/m/6/e/2/6e2bb12104a86753c8bd6e1dfc012cc1.png)
![BC](/media/m/5/0/0/5005d4d5eac1b420fbabb76c83fc63ad.png)
![OBQ](/media/m/7/d/6/7d6d69e7793601b37731b535a3768753.png)
![OCQ](/media/m/5/7/8/5785b3218e5752c4291879eb72e14abd.png)
![R](/media/m/4/d/7/4d76ce566584cfe8ff88e5f3e8b8e823.png)
![BC](/media/m/5/0/0/5005d4d5eac1b420fbabb76c83fc63ad.png)
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
![AC](/media/m/6/4/7/647ef3a5d68f07d59d84afe03a9dc655.png)
![MN](/media/m/2/6/7/267a73297a5de9e529d41774ee6ff45a.png)
![NCMA](/media/m/d/a/4/da460ae8a47cbf513b3bdecf4134a3d2.png)
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
![AC](/media/m/6/4/7/647ef3a5d68f07d59d84afe03a9dc655.png)
Lako se dobije
![\angle QBC = \angle QCB = A](/media/m/4/1/b/41bcbea05a989cf2ce7b439635f7da2a.png)
![BQ](/media/m/2/8/c/28cc5d89f53243e9e0fb41492df4736b.png)
![CQ](/media/m/a/8/4/a846b659c7be23bc98305e03c8f65850.png)
![(ABC)](/media/m/9/3/7/937e33bf64c1ccd835d049504d8f45ba.png)
![AQ](/media/m/3/6/7/36700db67d5294dc56876df0725f079d.png)
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
![\angle QrAC = \angle BAR](/media/m/5/6/c/56c4d754b19ed45a3a3575c31a251be1.png)
Dobije se i
![\angle CAM = C](/media/m/a/1/3/a133731eb67faf0f31860281b9d63775.png)
![\angle ACM = B](/media/m/e/2/8/e2866cac729ee3fe3a069aada8709b00.png)
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
![ACM](/media/m/c/4/3/c434eb6702fffa97dc3aee3a8241974e.png)
![MP](/media/m/d/9/7/d971f0d81410f9e97c51d04e0d2342f7.png)
![ACM](/media/m/c/4/3/c434eb6702fffa97dc3aee3a8241974e.png)
![\angle QAC=\angle PMC](/media/m/a/5/d/a5dbb841aadf3a75013ab079a8eee503.png)
Zaključujemo da je
![TCMA](/media/m/1/9/4/194f681803bec6df150511325be5b18f.png)
![\angle QTC = \angle MAC = A = \angle QBC](/media/m/2/d/e/2defdf42428bd0f60e0f85b6226c9c99.png)
![B, O, T](/media/m/1/9/f/19fd6fede4fa0b5b5756bd822aaacf0b.png)
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
![\square](/media/m/d/1/5/d15a79517835696a16bf5fe7bd240ef9.png)