Rješenja zadatka "Državno natjecanje iz matematike 2017, SŠ4 A 4" korisnika "rhldj"

Točno

17. ožujka 2018. 14:46 (6 godine, 8 mjeseci)

Korisnik: rhldj
Zadatak: Državno natjecanje iz matematike 2017, SŠ4 A 4 (Sakrij tekst zadatka)

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|AB| > |AC|$ . Neka je $O$ središte kružnice opisane tom trokutu, a $\overline{OQ}$ promjer kružnice opisane trokutu $BOC$ . Pravac paralelan s pravcem $BC$ kroz $A$ siječe pravac $CQ$ u točki $M$ , a pravac paralelan s pravcem $CQ$ kroz $A$ siječe pravac $BC$ u točki $N$ . Neka je $T$ presjek pravaca $AQ$ i $MN$ . Dokaži da točka $T$ leži na kružnici opisanoj trokutu $BOC$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Neka je $R$ presjek $OQ$ i $BC$ . Kako su $OBQ$ i $OCQ$ trivijalno sukladni slijedi da je $R$ polovište $BC$ . Neka je $P$ presjek $AC$ i $MN$ . Kako je $NCMA$ paralelogram je $P$ polovište $AC$ .
Lako se dobije $\angle QBC = \angle QCB = A$ pa su $BQ$ i $CQ$ tangente na $(ABC)$ . Tada je $AQ$ simedijana $ABC$ te po njenoj definiciji $\angle QrAC = \angle BAR$ .
Dobije se i $\angle CAM = C$ i $\angle ACM = B$ iz čega slijedi da su $ABC$ i $ACM$ slični. Kako je $MP$ težišnica $ACM$ slijedi $\angle QAC=\angle PMC$ .
Zaključujemo da je $TCMA$ tetivan pa je $\angle QTC = \angle MAC = A = \angle QBC$ te su zatim $B, O, T$ i $C$ konciklične. $\square$

Školjka

Ocjene: (1)