Rješenja zadatka "Državno natjecanje 2011 SŠ3 3" korisnika "mimaro"

Točno

18. travnja 2012. 21:52 (12 godine, 8 mjeseci)

Korisnik: mimaro
Zadatak: Državno natjecanje 2011 SŠ3 3 (Sakrij tekst zadatka)

U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$ . Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$ , a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$ , odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Neka je <ABC=<ACB=y i neka je <ABP=<BCP=x.

Lako se naganjenjem kuteva dobije <DPC=y, <ACP=y-x, <ADP=2y-x, <APD=90-y, <PAC=90-(y-x), itd.

Primjenom sinusovog poučka na stranice |AD| i |PD| trokuta APD te sinusovog poučka na stranice |CD| i |PD| trokuta CPD;
a zatim dijeljem tih jednadžbi (da se poništi |PD|) dobije se:

|AD| : |CD|=(sin(90-y)*sin(y-x)) : (sin(90-(y-x))*sin(y)) = (cos(y)*sin(y-x)) : (cos(y-x)*sin(y)).

Zbog formule za pretvorbu umnoška u zbroj ( ... sin(a)cos(b) = 1/2( sin(a+b)+sin(a-b) ) ... ) možemo pisati:

|AD| : |CD|=(sin(2y-x)-sinx) : (sin(2y-x)+sinx)). ( ... gdje smo koristili sin(-x) = -sin(x) ...)

Ako brojnik i nazivnik podijelimo sa sinx dobijemo:

(1) |AD| : |CD|=(sin(2y-x)/sinx - 1) : (sin(2y-x)/sinx + 1))

Stavimo |AD| : |CD|=t. Zbog sinusovog poučka na trokut ABD vidimo da je

sin(2y-x):sinx=|AB|:|AD|=(|AD|+|CD|):|AD|=(1+1/t).

Sada (1) možemo zapisati kao t = (1/t) : (2+1/t).

Dobijemo kvadratnu jednadžbu 2*t^2 + t - 1=0 čije je poz. rješenje t=1/2 (negativno je očito t=-1).

|AD| : |CD|=t=1/2.

(žao mi je što ne znam latex niti imam vremena ga naučiti)

Školjka

Ocjene: (1)