Sakrij rješenje
Dan je šiljastokutan trokut u kojem vrijedi
. Neka je
njegova opisana kružnica. Neka je
točka na
, na manjem luku
, takva da vrijedi
. Neka je
točka na stranici
takva da vrijedi
. Neka je
točka osnosimetrična polovištu dužine
s obzirom na pravac
. Dokaži da kružnica opisana trokutu
prolazi kroz
ako i samo ako joj je središte na
.
(Ivan Novak)
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Prvo rješenje.
Označimo s središte opisane kružnice, te s
polovište stranice
.
Neka je , te neka je
. Tada je
(obodni kutevi nad tetivom
). Nadalje, vrijedi
(središnji kut nad
). Kako je
jednakokračan, vrijedi
.
Trokutovi i
su sukladni jer su refleksija jedan drugog preko pravca
, pa vrijedi
.
Trokut je jednakokračan, pa je
.
Četverokut je tetivan ako i samo ako vrijedi
, jer su to obodni kutevi nad tetivom
.
To vrijedi ako i samo ako vrijedi , što vrijedi ako i samo ako je
. Nadalje, to vrijedi ako i samo ako vrijedi
.
Kako je , to vrijedi ako i samo ako je
.
To vrijedi ako i samo ako je , a kako je
, to vrijedi ako i samo ako je
.
Središte kružnice opisane trokutu , nazovimo ga
, je na
ako i samo ako vrijedi
. Vrijedi
, pa je
ako i samo ako je
, a kako je
, to vrijedi ako i samo ako je
simetrala od
, što vrijedi ako i samo ako je
.
Drugo rješenje.
Pretpostavimo da je središte kružnice opisane trokutu na
. Tada je to središte polovište kraćeg luka
. Označimo ga s
. Želimo dokazati
. Dovoljno je pokazati da je preslika
preko
jednaka
jer vrijedi
.
Vrijedi , ali i
(obodni kutevi nad tetivama iste duljine). Iz ovog slijedi da su
i
paralelni.
Nadalje, vrijedi , te vrijedi
, pa su i
i
paralelni, pa je četverokut
paralelogram, a kako je
, vrijedi i
, četverokut je romb. Iz toga slijedi da je
preslika
preko
, pa vrijedi
, kao što je i trebalo pokazati.
Pretpostavimo da je četverokut tetivan. Tada kao u prvom rješenju zaključujemo
. Iz toga slijedi da je
, ali vrijedi i
, pa su
kolinearne.
Iz toga slijedi da je jednaka refleksiji preko
od
, pa je refleksija od
preko
također na
. Neka je
refleksija od
preko
. Tada je
polovište kraćeg luka
, pa vrijedi
. Nadalje, iz
slijedi
, pa je
središte kružnice opisane trokutu
, kao što je i trebalo pokazati.