Školjka

%V0 neka je $\pi(x)$ broj prostih brojeva u $x$-tom intervalu...uvjet zadatka je ekvivalentan sa $a)$ postoji beskonacno mnogo brojeva $k$ za koje je $\pi(k)\geqslant\pi(k+1)$ $(1)$ $b)$ potoji beskonacno mnogo brojeva $k$ za koje je $\pi(k)<\pi(k+1)$ $(2)$ brojevi u $x$-tom intervalu su $\frac{x(x+1)}{2}-i$ gdje $i=0,... ,x-1$ pa ako je $x=(p-2)!$ za neki prost broj $p$ nijedan broj u $x$-tom intervalu nije prost- za $i\not=1$ trivijalna faktorizacija, a za $i=1$ vrijedi $(p-2)!\equiv1$ $(\text{mod } p )$ po Wilsonovom teoremu pa $p|\frac{(p-2)!((p-2)!+1)-2}{2}$ dokazimo prvo $b)$ - pretpostavimo suprotno pa vrijedi izraz $(1)$ za svaki dovoljno veliki $k$ no buduci da postoji beskonacno mnogo intervala bez prostih brojeva, nakon nekog vremena nece nijedan interval sadrzavati prost broj sto je u kontradikciji sa cinjenicom da postoji beskonacno mnogo prostih brojeva. dokazimo sad $a)$-pretpostavimo suprotno i sad vrijedi izraz $(2)$ za svaki dovoljno veliki $k$ no to sad znaci da ce nakon nekog vremena se $\pi(i)$ samo povecavati,te ce nakon nekog vremena prijeci polovicu velicine intervala jer se velicina intervala povecava za $1$... no polovica su parni brojevi i time dobivamo kontradikciju...