50%
19. travnja 2012. 13:16 (12 godine, 3 mjeseci)
Neka je skup prirodnih brojeva podijeljen u intervale na sljedeći način:
U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni).
Neka je
udio prostih brojeva u
-tom intervalu.
a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
za koje je
.
b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
za koje je
.
U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni).
Neka je
![p_i](/media/m/a/8/f/a8f743e52bdf378b0d60cad5e265de33.png)
![i](/media/m/3/2/d/32d270270062c6863fe475c6a99da9fc.png)
a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![p_{k+1} < p_k](/media/m/0/2/5/02570cdf178e202513ee540dcc9ca231.png)
b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![p_{k+1} > p_k](/media/m/0/6/3/063956f47798129e9c3c554385b0cdab.png)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
neka je
broj prostih brojeva u
-tom intervalu...uvjet zadatka je ekvivalentan sa
postoji beskonacno mnogo brojeva
za koje je
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
potoji beskonacno mnogo brojeva
za koje je
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
brojevi u
-tom intervalu su
gdje ![i=0,... ,x-1](/media/m/c/e/7/ce77df24a1eba87950092648a9eb167a.png)
pa ako je
za neki prost broj
nijedan broj u
-tom intervalu nije prost- za
trivijalna faktorizacija, a za
vrijedi
po Wilsonovom teoremu pa ![p|\frac{(p-2)!((p-2)!+1)-2}{2}](/media/m/3/2/8/328d08c542b4248e36975ced81120543.png)
dokazimo prvo
- pretpostavimo suprotno pa vrijedi izraz
za svaki dovoljno veliki ![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
no buduci da postoji beskonacno mnogo intervala bez prostih brojeva, nakon nekog vremena nece nijedan interval sadrzavati prost broj sto je u kontradikciji sa cinjenicom da postoji beskonacno mnogo prostih brojeva.
dokazimo sad
-pretpostavimo suprotno i sad vrijedi izraz
za svaki dovoljno veliki ![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
no to sad znaci da ce nakon nekog vremena se
samo povecavati,te ce nakon nekog vremena prijeci polovicu velicine intervala jer se velicina intervala povecava za
... no polovica su parni brojevi i time dobivamo kontradikciju...
![\pi(x)](/media/m/c/b/b/cbb9c476919c95aea99341da25213fc0.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![a)](/media/m/f/0/8/f0844437a160b45486aedcc02b92949d.png)
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![\pi(k)\geqslant\pi(k+1)](/media/m/3/7/3/373c738334383f3eaf2ae2d4ebae4e93.png)
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
![b)](/media/m/d/2/f/d2f292cd6a69e9158afe71ba9d830da4.png)
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![\pi(k)<\pi(k+1)](/media/m/7/d/6/7d60eac290c22539257a71970cda17e1.png)
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
brojevi u
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![\frac{x(x+1)}{2}-i](/media/m/9/a/a/9aac524ba56468b209c379f0d32fbf71.png)
![i=0,... ,x-1](/media/m/c/e/7/ce77df24a1eba87950092648a9eb167a.png)
pa ako je
![x=(p-2)!](/media/m/7/7/a/77abfe288f5d1c1b98689f96ffc86f13.png)
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![i\not=1](/media/m/2/c/3/2c3a780ffc0861bca5fff39ea54d597d.png)
![i=1](/media/m/7/a/1/7a1813d67f3ef708af74a4c81f1e7522.png)
![(p-2)!\equiv1](/media/m/c/a/e/caea735cb17d77deb30cdde920ff20e7.png)
![(\text{mod } p )](/media/m/4/6/9/469907c9ec2c4a5bca56b17c497ce0d7.png)
![p|\frac{(p-2)!((p-2)!+1)-2}{2}](/media/m/3/2/8/328d08c542b4248e36975ced81120543.png)
dokazimo prvo
![b)](/media/m/d/2/f/d2f292cd6a69e9158afe71ba9d830da4.png)
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
no buduci da postoji beskonacno mnogo intervala bez prostih brojeva, nakon nekog vremena nece nijedan interval sadrzavati prost broj sto je u kontradikciji sa cinjenicom da postoji beskonacno mnogo prostih brojeva.
dokazimo sad
![a)](/media/m/f/0/8/f0844437a160b45486aedcc02b92949d.png)
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
no to sad znaci da ce nakon nekog vremena se
![\pi(i)](/media/m/4/3/5/435faaaf35bb439dc8503bb337c80c1f.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
Ocjene: (2)
Komentari:
Buco, 20. travnja 2012. 13:19
Moguće da samo ja ne vidim ali kako ti točno radiš trivijalnu faktorizaciju za
različit od
mislim
ide od
do
, a po meni tu može biti neki prosti broj veći od
a time ti više nemaš trivijalnu faktorizaciju.
Čak ukoliko se ne varam znam dokazati da osim prvog intervala ne postoji niti jedan bez prostih brojeva što je doista i intuitivno jasno s obzirom da je gustoća prostih brojeva
.
Moje rješenje zadatka je isto ko Bakićevo samo ja koristim umjesto Bertranda jednu poznatu nejednakost za prime counting function (koja se inače označava s
i označava broj prostih brojeva manjih od
pa si me zbunio Ćevide)
koja se lako dokaže ograničavanjem harmoničkog reda (da budemo iskreni vrijedi ovo gore, ali ja sam koristio nešto slabiju i lakšu za pokazati nejednakost za lijevu stranu, a desna mi treba samo da pokažem da nema nijedan interval s
prostih, u rješenju izvornog zadatka je nepotrebna).
![i](/media/m/3/2/d/32d270270062c6863fe475c6a99da9fc.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![i](/media/m/3/2/d/32d270270062c6863fe475c6a99da9fc.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![(p-2)!](/media/m/9/3/e/93e5bd48ae174fff8c4ef12c4ed3acfb.png)
![p-2](/media/m/5/d/2/5d2000adc29fa6b3b9701518c7b96e4c.png)
Čak ukoliko se ne varam znam dokazati da osim prvog intervala ne postoji niti jedan bez prostih brojeva što je doista i intuitivno jasno s obzirom da je gustoća prostih brojeva
![ln(n)](/media/m/f/8/5/f85b3f14f0f2da28ab559467260fb017.png)
Moje rješenje zadatka je isto ko Bakićevo samo ja koristim umjesto Bertranda jednu poznatu nejednakost za prime counting function (koja se inače označava s
![\pi](/media/m/6/d/c/6dc45296009278a7c7756c5f81a379fb.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![\frac{n}{ln(n)}<\pi(n)<\frac{2n}{ln(n)}](/media/m/b/0/b/b0b841eaf437a9f3638a84314712e5e4.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)