Školjka

Neka \(\sum\) označava cikličnu sumu te \(\prod\) ciklični produkt. Vrijedi: \[\sum \frac{1}{a^2+1} = \sum \frac{1}{(a+b)(a+c)} = \frac{2(a+b+c)}{\prod (a+b)}\] \[\sum \frac{a^2}{a^2+1} = \sum \frac{a^2}{(a+b)(a+c)} = \frac{\sum a^2(b+c)}{\prod (a+b)}\] Pa je potrebno naći maksimum i minimum izraza \[S = \frac{2(a+b+c)\sum a^2(b+c)}{\prod (a+b)^2}\] Koristeći identitete \((a+b+c)(ab+bc+ac) = \sum a^2(b+c) + 3abc\) te \(\prod (a+b) = \sum a^2(b+c) + 2abc\) dobivamo: \[S = \frac{2(\sum a^2(b+c) + 3abc)\sum a^2(b+c)}{(\sum a^2(b+c) + 2abc)^2}\] Uvedimo oznake \(x = \sum a^2(b+c)\) i \(k = abc\). Primijetimo da zbog AG nejednakosti vrijedi \(x \geq 6k\). Sada lako dobivamo gornju granicu za \(S\): \[S = \frac{2(x^2+3xk)}{x^2+4xk+4k^2} \leq \frac{2(x^2+4xk+4k^2)}{x^2+4xk+4k^2} = 2\] Jednakost se postiže za \((a,b,c) = (1,1,0)\).\\ Odredimo sada minimalnu vrijednost od S. Vrijedi: \[S = \frac{27}{16} \cdot \frac{32(x^2+3xk)}{27(x^2+4xk+4k^2)} = \frac{27}{16} \cdot \frac{27x^2+(5x^2+78xk) + 18xk}{27x^2+108xk+108k^2} \overset{x \geq 6k}{\geq} \frac{27}{16} \cdot \frac{27x^2+(30xk+78xk)+108k^2}{27x^2+108xk+108k^2} = \frac{27}{16}\] Jednakost se postiže za \((a,b,c) = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})\).