Školjka

Pokušajmo prvo 'igrati igru' na malim primjerima. Recimo da imamo sedam brojeva i krećemo s brojevima $20, 20, 15, 15, 15 ,3, 7$. \begin{center} \begin{tabular}{ccccccc} 20 & 20 & 15 & 15 & 15 & 3 & 7 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ \hline 4 & 4 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 \\ \hline 4 & 4 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 \end{tabular} \end{center} Uočimo nekoliko stvari. Prije svega, svaki od brojeva od 2. retka nadalje je manji od $8$. Naime, to je sasvim jednostavno dokazat, naime, svaki od tih brojeva predstavlja broj pojavljivanja u prethodnom retku, a kako je ukupan broj brojevs 7, ne može biti više od 7 pojavljivanja. Druga stvar koju treba uočiti jest da od drugog retka nadalje, brojevi unutar svojih 'stupaca' rastu ili ostaju isti. Naime, s obzirom da broj predstavlja broj pojavljivanja nekog broja $k$ u prethodnom retku, znamo da će se ispod svakog pojavljivanja broja $k$ naći isti takav broj. Kako je tih pojavljivanja točno onoliko koliki je broj, on se sigurno neće smanjiti. Sada se možemo vratiti na postavku s $2020$ brojeva. Uočimo da se od drugog retka nadalje, u svakom retku nalaze brojevi koji su nužno manji od 2021, a u svakom koraku se povećaju ili ostanu isti. Kako ne mogu neograničeno rast (jer manji su od 2021), nužno je da u nekom trenutku svi ti brojevi ostanu isti, odnosno, tvrdnja je dokazana.