Školjka

Prije svega, uočimo da uglavnom ne poznajemo niti jednu nejednakost u kojoj nešto ima negativan predznak. Zbog toga nam je cilj riješiti se minusa, na koji god način znamo. Naravno, pojavljuje se jedan jako prirodan način, a to je svaki od pribrojnika pomnožimo s dva, a nakon toga dodamo jedan. Nakon prvog koraka, imamo nejednakost \[ \frac{2y^2 - 2x^2}{2x^2 + 1} + \frac{2z^2 - 2y^2}{2y^2 + 1} + \frac{2x^2 - 2z^2}{2z^2 + 1} \geq 2 \cdot 0 = 0,\] a nakon drugog koraka, imamo \[ \frac{2y^2 + 1}{2x^2 + 1} + \frac{2z^2 + 1}{2y^2 + 1} + \frac{2x^2 + 1}{2z^2 + 1} \geq 3. \] Naravno, u ovom trenutku se prirodno nameće AG nejednakost (zbog toga što je produkt brojnika jednak produktu nazivnika) to jest, vrijedi \[ \frac{2y^2 + 1}{2x^2 + 1} + \frac{2z^2 + 1}{2y^2 + 1} + \frac{2x^2 + 1}{2z^2 + 1} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{2y^2 + 1}{2x^2 + 1} \cdot \frac{2z^2 + 1}{2y^2 + 1} \cdot \frac{2x^2 + 1}{2z^2 + 1}} = 3. \]