Rješenja zadatka "3. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4" korisnika "MNM"

Neocijenjeno

25. listopada 2020. 19:15 (4 godine)
Sakrij rješenje

Korisnik: MNM
Zadatak: 3. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4 (Sakrij tekst zadatka)

Dan je $\triangle ABC$ s opisanom kružnicom $\Omega$ . Neka su $D$ i $E$ točke na stranicama $\overline {AB}$ i $\overline {AC}$ redom takve da vrijedi $|AD| = |AE|$ . Neka pravci paralelni s $DE$ kroz $B$ i $C$ sijeku $\Omega$ redom u točkama $P$ i $Q$ . Neka je $w$ kružnica opisana $\triangle ADE$ . Dokaži da se pravci $PE$ i $QD$ sijeku na $w$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Pretpostavimo da pravac $QD$ siječe $\Omega$ u $X_1$ .

Primijetimo da je $|\angle QX_1A| = |\angle QBA|$ jer su oba obodni kutevi nad lukom $AQ$ .
Uz to, budući da je $QBCA$ tetivan četverokut i $DE\ ||\ QC$ , zaključujemo $|\angle QBA|=|\angle QCA| =|\angle DEA|$ iz čega slijedi $|\angle QX_1A| = |\angle DX_1A| = |\angle DEA|$ pa je $DAX_1E$ tetivan četverokut.

Analogno definirajmo $X_2$ kao presjek pravca $PE$ i $\Omega$ . Sličnim koracima zaključujemo da je $DAX_2E$ tetivan četverokut.

Presjek kružnica $\omega$ i $\Omega$ jest još samo jedna točka osim $A$ , pa $X=X_1=X_2$ čime je dokaz dovršen.

Školjka