Sakrij rješenje
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Tvrdnju dokazujemo za proizvoljan .
Svaku dužinu obojimo plavo ako je na njoj paran broj, a crveno ako je neparan. Primijetimo da imamo trokute samo s ili
crvene stranice.
Dokazat ćemo da točke možemo podijeliti u skupa,
i
, tako da su sve dužine u svakom skupu plave. Uzmimo neku crvenu dužinu
i pokušajmo konstruirati takva
skupa.
Ako ne postoji crvena dužina, možemo točke podijeliti u skupa samo s plavim dužinama.
U suprotnom, promatramo neku treću točku . Očito
i
moraju biti u različitim skupovima, pa stavimo
u
, a
u
. Znamo da je točno jedna od dužina
i
plava, pa
stavimo u
ako je
plava, a u
ako je
plava.
Po Dirichletovom principu, jedan od skupova i
ima barem
točaka koje su sve međusobno spojene plavim dužinama.
Sada u tom skupu brojeve na svim dužinama podijelimo s i ponovimo opisani postupak podjele točaka na
skupa samo s plavim dužinama sve dok nam ne ostane skup od
točke. Te
točke povezane su dužinama na kojima su brojevi
ili
, a zbog konstrukcije skupa, znamo da su sve dužine plave, odnosno na njima je broj
. Time je zadatak završen.