Školjka

Tvrdnju dokazujemo za proizvoljan $n\in \mathbb{N}$. Svaku dužinu obojimo plavo ako je na njoj paran broj, a crveno ako je neparan. Primijetimo da imamo trokute samo s $0$ ili $2$ crvene stranice. Dokazat ćemo da točke možemo podijeliti u $2$ skupa, $S_1$ i $S_2$, tako da su sve dužine u svakom skupu plave. Uzmimo neku crvenu dužinu $\overline{AB}$ i pokušajmo konstruirati takva $2$ skupa. Ako ne postoji crvena dužina, možemo točke podijeliti u $2$ skupa samo s plavim dužinama. U suprotnom, promatramo neku treću točku $X$. Očito $A$ i $B$ moraju biti u različitim skupovima, pa stavimo $A$ u $S_1$, a $B$ u $S_2$. Znamo da je točno jedna od dužina $\overline{AX}$ i $\overline{BX}$ plava, pa $X$ stavimo u $S_1$ ako je $\overline{AX}$ plava, a u $S_2$ ako je $\overline{BX}$ plava. Po Dirichletovom principu, jedan od skupova $S_1$ i $S_2$ ima barem $2^{n-1}+1$ točaka koje su sve međusobno spojene plavim dužinama. Sada u tom skupu brojeve na svim dužinama podijelimo s $2$ i ponovimo opisani postupak podjele točaka na $2$ skupa samo s plavim dužinama sve dok nam ne ostane skup od $3$ točke. Te $3$ točke povezane su dužinama na kojima su brojevi $0$ ili $1$, a zbog konstrukcije skupa, znamo da su sve dužine plave, odnosno na njima je broj $0$. Time je zadatak završen.