Rješenja zadatka "Državno natjecanje iz matematike 2018, SŠ3 A 4" korisnika "11235"

Neocijenjeno

31. listopada 2021. 14:25 (3 godine)

Korisnik: 11235
Zadatak: Državno natjecanje iz matematike 2018, SŠ3 A 4 (Sakrij tekst zadatka)

Zadan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = |AC|$ . Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom. Neka je $P$ sjecište pravca $AN$ s opisanom kružnicom trokuta $AMC$ , različito od $A$ . Pravac kroz točku $P$ paralelan s $BC$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $B_1$ i $C_1$ . Dokaži da je trokut $AB_1C_1$ jednakostraničan.

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

postavimo $\triangle ABC$ u kompleksnu ravninu tako da je $\circ ABC$ jedinična kružnica, te neka je točki $A$ pridružen 1. U nastavku $x$ označava broj pridružen točki $X$ .
$B-b$ različit od 1
$C-\frac{1}{b}$ (jer je $AN$ realna os)
$M-\frac{1+b}{2}$
$P-p$
Kako je $AMPC$ tetivan, imamo da je $\frac{a-m}{m-c}/\frac{a-p}{p-c}$ realan. Konjugiranjem sijedi: $\frac{1-\frac{1+b}{2}}{\frac{1+b}{2}-\frac{1}{b}}/\frac{1-p}{p-\frac{1}{b}}=\frac{1-\frac{1+\frac{1}{b}}{2}}{\frac{1+\frac{1}{b}}{2}-b}/\frac{1-p}{p-b}$ Zbog pretpostavke da je $A$ različita od $P$ možemo kratiti $1-p$ . Nakon sređivanja dobiva se jednadžba $\frac{pb-1}{b+2}=\frac{p-b}{2b+1}$ čije je rješenje $p=-1/2$ . Sada je trivijalno vidjeti $AO/OP=2$ , pa zbog činjenice da je $AP$ srednjica trokuta $AB_1C_1$ , $O$ je centar opisane kružnice i težište tog trokuta što daje da je $AB_1C_1$ jednakostraničan

Školjka