Rješenja zadatka "Državno natjecanje 2011 SŠ3 3" korisnika "11235"

Točno

2. travnja 2022. 20:50 (2 godine, 10 mjeseci)

Korisnik: 11235
Zadatak: Državno natjecanje 2011 SŠ3 3 (Sakrij tekst zadatka)

U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$ . Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$ , a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$ , odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Prvo, iz $AB=AC$ i $\angle ABP= \angle BCP$ imamo: $\angle PCD=\angle DCB-\angle BCP=\angle ABC-\angle ABP=\angle DBC$ , pa su trokuti $DPC$ i $DCB$ slični. To daje $DC^2=DP*DB$ . Promotrimo inverziju s centrom $D$ i radijusom $DC$ . Zbog gornje relacije znamo da se $P$ i $B$ šalju jedna u drugu. Neka je $X$ točka u koju se šalje $A$ . Vrijedi: $90=\angle APD+\angle DPC=\angle DXB+\angle BCD$ Ovo jedinstveno određuje točku $X$ kao presjek $AC$ i okomice iz $B$ na $BC$ , uočimo i $AX=AB$ . Neka je sad $AD=x, DC=rx, AC=(r+1)x$ . Iz definicije inverzije je:
$x*(r+2)x=r^2*x^2$ , odakle $r=2$ i $AD:CD=1:2$

Školjka

Ocjene: (1)