Neocijenjeno
16. svibnja 2023. 16:31 (1 godina, 2 mjeseci)
U ravnini je dano pet točaka
![P_1](/media/m/a/8/8/a886eaf7832af6b6b5f56f0ec9a97490.png)
,
![P_2](/media/m/e/c/8/ec8662164615835e6c2307d72a487ec8.png)
,
![P_3](/media/m/7/a/2/7a2130873c871d58d58e11256ec758be.png)
,
![P_4](/media/m/d/1/8/d18910c7224686a6bb18f9abacc0ee77.png)
,
![P_5](/media/m/e/f/5/ef51e0ec3414fce4e1764e0572a737ab.png)
sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par
![(P_i,\,P_j)](/media/m/4/b/d/4bdad5c27a203231b5a35fad46599477.png)
za
![i \neq j](/media/m/a/5/f/a5f46b46ea53ae08f426e6adb8365875.png)
tako da pravac
![P_iP_j](/media/m/f/0/6/f0669cef535c09a53cb6a0597cf6e966.png)
sadrži neku točku
![Q](/media/m/4/5/c/45ce8d14aa1eb54f755fd8e332280abd.png)
sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između
![P_i](/media/m/5/2/a/52aac5a799a979529859020a68515b1b.png)
i
![P_j](/media/m/d/b/9/db9eb9cbdccb4b0c7d733cc89714da5f.png)
.
%V0
U ravnini je dano pet točaka $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i,\,P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Činjenica :
ako i samo ako za te točke
vrijedi tvrdnja zadatka.
(Ovo sam dokazao preko sličnosti)
Gledamo kordinate točaka mod 2. Imamo 4 ostatka i 5 brojeva. Time vidimo da između 5 točaka najveći zajednički dijelitelj neke dvije bit će minimalno 2.
Činjenica : $gcd(|P_{ix} - P_{jx}| , |P_{iy} - P_{jy}|) \neq 1$ ako i samo ako za te točke $(P_i , P_j)$ vrijedi tvrdnja zadatka.
(Ovo sam dokazao preko sličnosti)
Gledamo kordinate točaka mod 2. Imamo 4 ostatka i 5 brojeva. Time vidimo da između 5 točaka najveći zajednički dijelitelj neke dvije bit će minimalno 2.