Rješenja zadatka "Državno natjecanje iz matematike 2015, SŠ1 A 4" korisnika "Patrlk"

Neocijenjeno

12. rujna 2023. 19:53 (1 godina, 7 mjeseci)

Korisnik: Patrlk
Zadatak: Državno natjecanje iz matematike 2015, SŠ1 A 4 (Sakrij tekst zadatka)

Na ploči se nalazi prvih $n$ prirodnih brojeva ( $n \geq 3$ ). Ante ponavlja sljedeći postupak: najprije po volji bira dva broja na ploči, a zatim ih povećava za isti proizvoljni iznos.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje Ante, ponavljanjem tog postupka, može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki.

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Ajmo prvo koristit indukciju da dokažemi da vrijedi za sve $4k , 4k + 1 , 4k + 3$ i nazivat ćemo te brojeve na ploči niz.

Pretpostavka : Pretpodstavimo da vrijedi za neki $4k + 3$ tako da je svaki broj niza na kraju procesa jednak $4(k + 1)$ Tjst taj niz se može zapisat : $\underbrace{4(k + 1) , 4(k + 1) , 4(k + 1) , ... , 4(k + 1)}_{4k + 3}$

Onda će i ta pretpostavka radit za $4(k + 1)$ jer niz $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , 4(k + 1)$ Možemo pretvorit u $4(k + 1) , 4(k + 1) , ... , 4(k + 1)$ Iz dane pretpostavke. Svaki broj tog niza bit će $4(k + 1)$

Sad pretpodstavimo da za neki $4k$ gdje se svaki broj iz tog niza može postupkom dobit da je $4k$ Tjst taj niz bi bio : $\underbrace{4k , 4k , ... , 4k}_{4k}$

Onda niz $1 , 2 , 3 , 4 , ... , 4k + 1$ Možemo postupkom doć do : $4k , 4k , 4k , ... , 4k + 1$ Brojeva $4k$ ima parno tako da ako dodajemo 1 u parovima postić ćemo niz : $4k + 1 , 4k + 1 , ... , 4k + 1$ Svaki broj tog niza je $4k + 1$

Sad pretpodstavimo da za neki $4k + 1$ možemo postić da svi brojevi budu $4k + 1$

$4k + 1 , 4k + 1 , ... , 4k + 1$ Onda za niz $1 , 2 , 3 ... , 4k + 3$ Možemo ga zapisat kao $4k + 1 , 4k + 1 , ... , 4k + 2 ,4k + 3$ Dodadavanje jedinice prvom i zadnjem , prvom i predzadjen , i dvice ovima u parovima dobijamo niz $4(k + 1) , 4(k + 1) , ... , 4(k + 1)$ Svaki broj tog niza je $4(k + 1)$

Iz $1 , 2 , 3$ može se postić $4 , 4 ,4$ tako da svi brojevi osim $4k + 2$ padaju ko domine.

Sad dokaz da $n \neq 4k + 2$ Ograničimo Ante da miže dodavat samo broj $1$ ako oće dodavat broj veći od $1$ dodat će broj $1$ više puta.

Uglavnom to nije ni toliko važno. Ali dodavanje $1$ na $2$ parna broja. Broj parnih brojeva se smanjuje za $2$ Dodavanje $1$ na neparne povećaje se za $2$ i dodavanje na miks broj parnih brojeva ostaje isti. Na početku broj parnih brojeva je $2k + 1$ A može se povećavat samo za $2$ ili smanjit za $2$ tako da jedine vrijednosti koje može postić je $2k + 1 + 2 \alpha - 2 \beta$ Tojest $2k + 1 + 2\gamma$ Vidimo da je broj parnih brojeva strogo neparan. Što je kontradikcija tome da svi brojevi trebaju biti isti (u tom slucaju je broj neparnih brojeva ili $0$ ili $4k + 2$ )

Edit : mislio sam da sam loš u indukciji da pišem ovoliko dugo rješenja. Očito samo neznam konstrukciju

Ajmo prvo koristit indukciju da dokažemi da vrijedi za sve $4k , 4k + 1 , 4k + 3$ i nazivat ćemo te brojeve na ploči niz. Pretpostavka : Pretpodstavimo da vrijedi za neki $4k + 3$ tako da je svaki broj niza na kraju procesa jednak $4(k + 1)$ Tjst taj niz se može zapisat : $$\underbrace{4(k + 1) , 4(k + 1) , 4(k + 1) , ... , 4(k + 1)}_{4k + 3}$$ Onda će i ta pretpostavka radit za $4(k + 1)$ jer niz $$1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , 4(k + 1)$$ Možemo pretvorit u $$4(k + 1) , 4(k + 1) , ... , 4(k + 1)$$ Iz dane pretpostavke. Svaki broj tog niza bit će $4(k + 1)$ Sad pretpodstavimo da za neki $4k$ gdje se svaki broj iz tog niza može postupkom dobit da je $4k$ Tjst taj niz bi bio : $$\underbrace{4k , 4k , ... , 4k}_{4k}$$ Onda niz $$1 , 2 , 3 , 4 , ... , 4k + 1$$ Možemo postupkom doć do : $$4k , 4k , 4k , ... , 4k + 1$$ Brojeva $4k$ ima parno tako da ako dodajemo 1 u parovima postić ćemo niz : $$4k + 1 , 4k + 1 , ... , 4k + 1$$ Svaki broj tog niza je $4k + 1$ Sad pretpodstavimo da za neki $4k + 1$ možemo postić da svi brojevi budu $4k + 1$ $$4k + 1 , 4k + 1 , ... , 4k + 1$$ Onda za niz $$1 , 2 , 3 ... , 4k + 3$$ Možemo ga zapisat kao $$4k + 1 , 4k + 1 , ... , 4k + 2 ,4k + 3$$ Dodadavanje jedinice prvom i zadnjem , prvom i predzadjen , i dvice ovima u parovima dobijamo niz $$4(k + 1) , 4(k + 1) , ... , 4(k + 1)$$ Svaki broj tog niza je $4(k + 1)$ Iz $1 , 2 , 3$ može se postić $4 , 4 ,4$ tako da svi brojevi osim $4k + 2$ padaju ko domine. Sad dokaz da $n \neq 4k + 2$ Ograničimo Ante da miže dodavat samo broj $1$ ako oće dodavat broj veći od $1$ dodat će broj $1$ više puta. Uglavnom to nije ni toliko važno. Ali dodavanje $1$ na $2$ parna broja. Broj parnih brojeva se smanjuje za $2$ Dodavanje $1$ na neparne povećaje se za $2$ i dodavanje na miks broj parnih brojeva ostaje isti. Na početku broj parnih brojeva je $2k + 1$ A može se povećavat samo za $2$ ili smanjit za $2$ tako da jedine vrijednosti koje može postić je $$2k + 1 + 2 \alpha - 2 \beta $$ Tojest $$2k + 1 + 2\gamma$$ Vidimo da je broj parnih brojeva strogo neparan. Što je kontradikcija tome da svi brojevi trebaju biti isti (u tom slucaju je broj neparnih brojeva ili $0$ ili $4k + 2$) Edit : mislio sam da sam loš u indukciji da pišem ovoliko dugo rješenja. Očito samo neznam konstrukciju

Školjka