Školjka

Neka je $z$ kompleksni broj oblika $z = x + yi$. Sredimo jednu po jednu jednadžbu koje nam zajedno čine sustav:\\ 1. jednadžba: \\ $$\left | (x+yi)^2 + 1 \right | = 2\left | x+yi \right |$$ $$\left | x^{2} + 2xyi -y^{2} + 1 \right | = 2\left | x+yi \right |$$ $$\sqrt{(x^{2}-y^{2}+1)^2+ (2xy)^2} = 2 \sqrt{x^{2}+ y^2} $$ $$(x^{2}-y^{2}+1)^2+ (2xy)^2= 4(x^{2}+ y^2)$$ $$x^{4}+y^{4}+1+2x^{2}-2y^{2}-2{x}^{2}{y}^{2}+ 4{x}^{2}{y}^{2}= 4x^{2}+ 4y^2$$ $$x^{4}+y^{4}+1-2x^{2}-2y^{2}+2{x}^{2}{y}^{2}= 4y^2$$ $$(-{x}^{2}-{y}^{2}+1)^2= (2y)^{2}$$ $$({x}^{2}+{y}^{2}-1)^2 - (2y)^{2} = 0$$ $$({x}^{2}+{y}^{2}-1-2y)({x}^{2}+{y}^{2}-1+2y) = 0$$ Iz dobivenog vrijedi da je ${x}^{2}+{y}^{2}-1-2y = 0$ ili ${x}^{2}+{y}^{2}-1+2y = 0$.\\ Pokušajmo pronaći vezu između realnog $x$ i imaginarnog dijela $y$ kompleksnoj broja $z$ koristeći drugu jednadžbu.\\ 2. jednadžba: $$\left |x+yi -3i \right | = \sqrt{10}$$ $$\left |x+i(y-3) \right | = \sqrt{10}$$ $$\sqrt{{x}^{2}+{(y-3)}^{2}}= \sqrt{10}$$ $${{x}^{2}+{(y-3)}^{2}}= {10} \Rightarrow {x}^{2} = 10 - (y-3)^{2} $$. Uvrstimo u prvi ili drugi slučaj koji smo dobili kao posljedicu prve jednadžbe:\\ 1. slučaj: ${x}^{2}+{y}^{2}-1-2y = 0$:\\ $$10 - (y-3)^{2} + {y}^{2} -2y - 1 = 0 $$ $$10 - (y^{2} -6y+9)+ {y}^{2} -2y - 1 = 0 $$ $$10 - y^{2} +6y-9+ {y}^{2} -2y - 1 = 0 $$ $$4y = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$ Rješenja prvog slučaja su kompleksni brojevi $z_{1} =1$ i $z_{2} =-1$.\\ 2. slučaj: ${x}^{2}+{y}^{2}-1+2y = 0$:\\ $$10 - (y-3)^{2} + {y}^{2} +2y - 1 = 0 $$ $$10 - (y^{2} -6y+9)+ {y}^{2} +2y - 1 = 0 $$ $$10 - y^{2} +6y-9+ {y}^{2} +2y - 1 = 0 $$ $$8y = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$ Rješenja drugog slučaja su kompleksni brojevi $z_{3} =1$ i $z_{4} =-1$.\\ Dakle, kompleksni brojevi koji zadovoljavaju obje jednadžbe su: $z_{1} =1$ i $z_{2} =-1$.