Rješenja zadatka "IMO Shortlist 2012 problem A3" korisnika "Froon"

Točno

16. rujna 2024. 17:06 (2 mjeseci, 1 tjedan)

Korisnik: Froon
Zadatak: IMO Shortlist 2012 problem A3 (Sakrij tekst zadatka)

Let $n\ge 3$ be an integer, and let $a_2,a_3,\ldots ,a_n$ be positive real numbers such that $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$ . Prove that
$(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.$

Proposed by Angelo Di Pasquale, Australia

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

za svaki ai mozemo napisati njegov dio kao: (1+ai)^i= ((1/i-1)+(1/i-1)+(1/i-1)...+(1/i-1)+ai)^i>=(AG) i^i*ai*(i-1)^(1-i) sada množenjem svih ovih članova vidimo da se krate i^i i (i-1)^(1-i) osim prvog i zadnjeg odnosno ostane (1/1)^1 i n^n pa imamo a2a3...an*n^n=n^n sada jos moramo dokazati da ne vrijedi jednakost pa pretpostavimo suprotno tada za svaki put kad smo primjenili ag mora vrijediti jednakost što je jedino moguće ako su svi članovi jednaki pa bi onda ai bio 1/i-1, no kako je svaki član nakon a2 manji od 1 a a2 je jednak jedan tada uvijet zadatka nije ispunjen

Školjka

Ocjene: (1)