Točno
3. prosinca 2013. 21:21 (10 godine, 7 mjeseci)
Dani su realni brojevi
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
,
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
veći od
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
. Dokaži sljedeću nejednakost
%V0
Dani su realni brojevi $a$, $b$, $c$ veći od $1$. Dokaži sljedeću nejednakost $$
\log _abc+\log _bca+\log _cab\geq 4(\log _{ab}c+\log _{bc}a+\log_{ca}b).
$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
%V0
$\log_a{bc} = \dfrac{\ln bc}{\ln a}=\dfrac{\ln b + \ln c}{\ln a}$
$\log_{bc} a = \dfrac{\ln a}{\ln bc} = \dfrac{\ln a}{\ln b + \ln c}$
$x = \ln a > 0$
$y = \ln b > 0$
$z = \ln c > 0$
$\Rightarrow \displaystyle \sum{\frac{x+y}{z}} \geqslant 4 \sum{\frac{x}{y+z}}$
$\displaystyle \sum{\dfrac{x+y}{2z}} = \sum{\dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}}{2}} \stackrel{AH}{\geqslant} \sum{\dfrac{2}{\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{x}}} = \sum{\dfrac{2x}{y+z}}$
8. siječnja 2014. 16:50 | grga | Točno |