Točno
16. kolovoza 2014. 21:40 (9 godine, 11 mjeseci)
Neka su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
i
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
pozitivni realni brojevi takvi da je
![ab + bc + ca = 1](/media/m/5/b/3/5b3143083090f01b156cfa8107f1b769.png)
. Pokažite da vrijedi
%V0
Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab + bc + ca = 1$. Pokažite da vrijedi
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geqslant \sqrt 3 + \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Dana nejednakost je ekvivalentna
![\sum{ \frac{1-ab}{a+b}} \geq \sqrt{3}](/media/m/3/f/b/3fb4b790f77b0bcbf5f205b98dab12c3.png)
a iz uvjeta je
![1- ab = bc + ca](/media/m/c/e/8/ce85f98c4b8e82894e82e51c723087f1.png)
pa slijedi
![\sum{ \frac{1-ab}{a+b}} = \sum{\frac{bc+ca}{a+b}} = \sum{c} \geq \sqrt{3}](/media/m/2/1/d/21d396b2d01e4af7874f9af298578fe6.png)
Kvadriranjem ove nejednakosti treba dokazat sljedeću
![a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca](/media/m/c/0/1/c01fded843d087c1cade85cf500fd336.png)
koja je po
![A-G](/media/m/f/9/b/f9b52bfde0a0c331d8d92115e48a1f5d.png)
istina.
%V0
Dana nejednakost je ekvivalentna
$$ \sum{ \frac{1-ab}{a+b}} \geq \sqrt{3}$$
a iz uvjeta je
$$ 1- ab = bc + ca $$
pa slijedi
$$ \sum{ \frac{1-ab}{a+b}} = \sum{\frac{bc+ca}{a+b}} = \sum{c} \geq \sqrt{3}$$
Kvadriranjem ove nejednakosti treba dokazat sljedeću
$$ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca $$
koja je po $A-G$ istina.
26. travnja 2015. 19:35 | ikicic | Točno |