Točno
14. travnja 2012. 16:26 (12 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
ako je x<-1 onda
i
nisu cjelobrojni. sada dokažimo da i njihov zbroj nije cjelobrojan.
Kako bi
,
bio cjelobrojan, oni moraju biti isti i moraju biti ![1/2](/media/m/4/1/2/4120d57ae6d2ae9811f2eeea1020aba4.png)
dokaz:
što je cjelobrojno kada je
i
---->![x>-1](/media/m/5/e/a/5ea47373c4d36bb655b4e4cb0c4fa08c.png)
izlučimo 2^x te oduzmemo 1 od cijele jednadžbe i dobimo:
![2^x\cdot(2^{x+1}+1)=(y+1)\cdot(y-1)](/media/m/8/7/1/871d8248113fc2548045b0cb393cefb1.png)
kako su y-1 i y+1 udaljeni za 2, jedan od njih je djeljiv s 2 i ne sa 4 tako da:
![y=2^{x-1}\cdot k +-1](/media/m/a/d/e/adeba3810e79c51fc703240ac05002ec.png)
Gdje je k neparan
uvrstimo to u jednadžbu:
![1+2^x+2^{2x+1}=2^{2x-2}k^2+-2^xk+1](/media/m/6/e/4/6e48842848613f58d1c62867e4c29862.png)
![8\cdot2^{2x-2}+2^x=k^22^{2x-2}+-k2^x](/media/m/5/5/f/55f11a14796e37d97de11e8a5da742d0.png)
1. +
![(8-k^2)2^{2x-2}=(k-1)2^x](/media/m/d/7/9/d7909c940f7bb71cf83b0f2c9880dc71.png)
k<3
a) k=2 --->k mora biti neparan
b) k=1
![7\cdot2^{2x-2}=0](/media/m/e/f/3/ef3d59764be3951bd0db1c540ca5b545.png)
x ne postoji
2. -
}
![(k^2-8)2^{x-2}=k+1](/media/m/d/1/7/d171b3af95ce2b18058da42e7a6f0393.png)
x>=0 (jer ako je manji od 0 onda y nije cijeli broj)
x=0 onda je
rješenja su -2,6 tj. y= -2,0,2,4 a rješenja su 2,-2 jer moraju biti suprotnog predznaka. kako je y rješenje mora biti rješenje i -y. a 0 nije rješenje jer lijeva strana nije 0.
x=0 ---->y=+-2 tj; (x,y)=(0,2),(0,-2)
x=1
y nije cjelobrojan
x=2
y nije cjelobrojan
x=3
y nije cjelobrojan
x=4
y=+-23
(x,y)=(4,23),(4,-23)
ako je x>=5
k nesmije biti veći od 4 (kada je veći od 4, x mora biti manji od 5 ni manji jednak -3 jer je inače desna strana manja od lijeve. Također, k je neparan
ostaje nam:
k=-1 ->
nema rješenja
k=1 ->
nema rješenja
k=3 -> x=4, y=+-23
I to su sva rješenja:
(x,y)=(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)
![2^x](/media/m/2/8/d/28dcbb1f524c09a38a84d218991e3b20.png)
![2^{2x+1}](/media/m/3/c/3/3c3488cd05b9a4240f9a30eb3f9f75a6.png)
Kako bi
![1/2^n + 1/2^m](/media/m/9/9/0/9901ff40018d2c3e6399a08edd521fc8.png)
![m>=n](/media/m/f/1/a/f1a84ced741d08cd628cf84cfd441234.png)
![1/2](/media/m/4/1/2/4120d57ae6d2ae9811f2eeea1020aba4.png)
dokaz:
![1/2^n+1/2^m=(2^{m-n}+1)/2^m](/media/m/5/6/9/569380c64b01578f5a4593ec3740d1fd.png)
![m-n=0](/media/m/8/7/3/87306cc2790eda71ea42e15075f2daac.png)
![m=1](/media/m/b/a/f/bafb0ac2c07e9777a8e74844c612cd66.png)
![x>-1](/media/m/5/e/a/5ea47373c4d36bb655b4e4cb0c4fa08c.png)
izlučimo 2^x te oduzmemo 1 od cijele jednadžbe i dobimo:
![2^x\cdot(2^{x+1}+1)=(y+1)\cdot(y-1)](/media/m/8/7/1/871d8248113fc2548045b0cb393cefb1.png)
kako su y-1 i y+1 udaljeni za 2, jedan od njih je djeljiv s 2 i ne sa 4 tako da:
![y=2^{x-1}\cdot k +-1](/media/m/a/d/e/adeba3810e79c51fc703240ac05002ec.png)
Gdje je k neparan
uvrstimo to u jednadžbu:
![1+2^x+2^{2x+1}=2^{2x-2}k^2+-2^xk+1](/media/m/6/e/4/6e48842848613f58d1c62867e4c29862.png)
![8\cdot2^{2x-2}+2^x=k^22^{2x-2}+-k2^x](/media/m/5/5/f/55f11a14796e37d97de11e8a5da742d0.png)
1. +
![(8-k^2)2^{2x-2}=(k-1)2^x](/media/m/d/7/9/d7909c940f7bb71cf83b0f2c9880dc71.png)
k<3
a) k=2 --->k mora biti neparan
b) k=1
![7\cdot2^{2x-2}=0](/media/m/e/f/3/ef3d59764be3951bd0db1c540ca5b545.png)
x ne postoji
2. -
![(k^2-8)2^{2x-2}=(k+1)2^x /:2^x](/media/m/d/2/e/d2ee09b8856d6766e4872859e9fdcc7c.png)
![(k^2-8)2^{x-2}=k+1](/media/m/d/1/7/d171b3af95ce2b18058da42e7a6f0393.png)
x>=0 (jer ako je manji od 0 onda y nije cijeli broj)
x=0 onda je
![k^2-4k-12=0](/media/m/f/4/4/f44b7a4b84ac7bb681bf6a5a01be5e36.png)
x=0 ---->y=+-2 tj; (x,y)=(0,2),(0,-2)
x=1
y nije cjelobrojan
x=2
y nije cjelobrojan
x=3
y nije cjelobrojan
x=4
y=+-23
(x,y)=(4,23),(4,-23)
ako je x>=5
k nesmije biti veći od 4 (kada je veći od 4, x mora biti manji od 5 ni manji jednak -3 jer je inače desna strana manja od lijeve. Također, k je neparan
ostaje nam:
k=-1 ->
![2^{x-2}=0](/media/m/5/c/9/5c99a49d0bc7b10f73a9d52db1e00ce3.png)
k=1 ->
![2^{x-2}=-2/7](/media/m/b/e/c/bec8b1ae8dfa35f85c5938015f7f3551.png)
k=3 -> x=4, y=+-23
I to su sva rješenja:
(x,y)=(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)
Ocjene: (1)
Komentari:
grga, 16. travnja 2012. 19:20
ok. super. imas pravo, neznam zasto sam mislio da bi tamo trebao biti minus.
sta se tice ovoga
k nesmije biti veći od 4 (kada je veći od 4, x mora biti manji od 5 ni manji jednak -3 jer je inače desna strana manja od lijeve. Također, k je neparan
je da je ocito, al evo malo formalnije, za slucaj da nekom nije jasno
pretpostavimo![k > 4](/media/m/9/0/b/90bf0e80640925ed9a28c021f78537e7.png)
tada je![k^2 - 8 \geq 4k - 8 = k + 3k - 8 \geq k + 12 - 8 = k + 4 > k + 1](/media/m/7/e/4/7e4f675ccc24cc724052e52d3294f83f.png)
pa onda ako jos imamo desno pomnozeno s onim nekom potencijom od
, jasno je da ce desna biti jos veca.
sta se tice ovoga
k nesmije biti veći od 4 (kada je veći od 4, x mora biti manji od 5 ni manji jednak -3 jer je inače desna strana manja od lijeve. Također, k je neparan
je da je ocito, al evo malo formalnije, za slucaj da nekom nije jasno
pretpostavimo
![k > 4](/media/m/9/0/b/90bf0e80640925ed9a28c021f78537e7.png)
tada je
![k^2 - 8 \geq 4k - 8 = k + 3k - 8 \geq k + 12 - 8 = k + 4 > k + 1](/media/m/7/e/4/7e4f675ccc24cc724052e52d3294f83f.png)
pa onda ako jos imamo desno pomnozeno s onim nekom potencijom od
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
Filip_Wee, 16. travnja 2012. 16:52
ikicic, 16. travnja 2012. 16:48
Filip_Wee, 16. travnja 2012. 00:52
Slucaj 2.- mi je ok mislim jer imam ![8\cdot2^{2x-2}+2^x=k^22^{2x-2}-k2^x](/media/m/e/3/0/e309e6ec3d99e545327479a7ad6e4c7a.png)
iz toga dodje ovaj izraz sa k+1, prebacim k lijevo, a k^2 desno
I probao sam za x je 0 1 2 3 4
je cjelobrojan po uvjetu zadataka.
ok, sad mi se cini vise manje dobro, ali idalje ne bi li ti trebalo biti kod ovog slucaja "2. - "
pa onda s desne strane u zagradi
.. ? onda dobijes nesto drugaciji racun, al u principu je ideja dobra.
jos jedna stvar.. ti iz jednadbe
i cinjenice da je
zakljucujes oblik broja
, na temelju djeljivosti s
. da sam ja na natjecanju, eventualno bih bio malo pazljiviji, pa bi za
prvojerio rucno ( jer te ne kosta previse vremena ), a onda za
si siguran da ti je zakljucak o izgledu broja
valjan. tj neznam, mozda si ti siguran i za ove male
, al meni nije to bas tako ocito.
par stvari glede latexa: razlomak ljepse izgleda ovako
, a plusminus ovako
![8\cdot2^{2x-2}+2^x=k^22^{2x-2}-k2^x](/media/m/e/3/0/e309e6ec3d99e545327479a7ad6e4c7a.png)
iz toga dodje ovaj izraz sa k+1, prebacim k lijevo, a k^2 desno
I probao sam za x je 0 1 2 3 4
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
ok, sad mi se cini vise manje dobro, ali idalje ne bi li ti trebalo biti kod ovog slucaja "2. - "
pa onda s desne strane u zagradi
![(k - 1)](/media/m/5/1/2/512858c3989dd5c3b9571c3becf52690.png)
jos jedna stvar.. ti iz jednadbe
![2^x(2^{x+1}+1)=(y+1)(y-1)](/media/m/a/9/0/a900785b432792f06f6ce031e028d41a.png)
![M (y-1, y+1) \leq 2](/media/m/c/7/c/c7c3e7830c25df5a546263eda94b4af5.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![4](/media/m/d/a/6/da6087359ae47e86dcb2e49565050046.png)
![x = 0,1,2](/media/m/f/c/f/fcf7a7f7d4cd983de9a32c17ee714c59.png)
![x \geq 3](/media/m/3/3/c/33c80bb516b16d1c4902d224ce43d3e1.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
par stvari glede latexa: razlomak ljepse izgleda ovako
![\frac{1}{2}](/media/m/9/9/6/996a8383590e130ec3396bf59c0d20fd.png)
![\pm](/media/m/f/4/d/f4d54e9bdceda686e03c73aa84b5508f.png)
grga, 15. travnja 2012. 23:56
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
ok, sad mi se cini vise manje dobro, ali idalje ne bi li ti trebalo biti kod ovog slucaja "2. - "
pa onda s desne strane u zagradi
![(k - 1)](/media/m/5/1/2/512858c3989dd5c3b9571c3becf52690.png)
jos jedna stvar.. ti iz jednadbe
![2^x(2^{x+1}+1)=(y+1)(y-1)](/media/m/a/9/0/a900785b432792f06f6ce031e028d41a.png)
![M (y-1, y+1) \leq 2](/media/m/c/7/c/c7c3e7830c25df5a546263eda94b4af5.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![4](/media/m/d/a/6/da6087359ae47e86dcb2e49565050046.png)
![x = 0,1,2](/media/m/f/c/f/fcf7a7f7d4cd983de9a32c17ee714c59.png)
![x \geq 3](/media/m/3/3/c/33c80bb516b16d1c4902d224ce43d3e1.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
par stvari glede latexa: razlomak ljepse izgleda ovako
![\frac{1}{2}](/media/m/9/9/6/996a8383590e130ec3396bf59c0d20fd.png)
![\pm](/media/m/f/4/d/f4d54e9bdceda686e03c73aa84b5508f.png)
ikicic, 15. travnja 2012. 22:50
Filip_Wee, 15. travnja 2012. 21:49
grga, 15. travnja 2012. 15:18
integers su cijeli brojevi, ne nuzno prirodni, zar ne? cini mi se da ti onda onaj zakljucak u drugom - trecem redu da je
bas ne stoji.. ono, s lijeve strane mozes imat nekakve razlomke i neka cuda. mozda i stoji, al u najmanju ruku moras to malo bolje objasnit.
sta i ne bi trebalo biti tamo ispod "1. +", pa onda s desne strane
.. isto za ovo ispod "2. -"
![y = 2^{x-1}k \pm 1](/media/m/c/4/1/c4196eb8920b08ca848522d442d8325c.png)
sta i ne bi trebalo biti tamo ispod "1. +", pa onda s desne strane
![(k - 1)2^x](/media/m/1/d/f/1dfb8a2293da37eb946f2c30625b9701.png)
Filip_Wee, 14. travnja 2012. 19:58
Filip_Wee, 14. travnja 2012. 19:41
ikicic, 14. travnja 2012. 19:27
Filip_Wee, 14. travnja 2012. 19:00
Filip_Wee, 14. travnja 2012. 18:40
kokan, 14. travnja 2012. 18:32
naredbe u latexu se pisu s \ ispred, a ne /. :)
mozda je nepotrebno pisati tutorial kad tu ima sve: http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX, a pod http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics pogotovo. a najbolje se uci kad se vidi kako drugi pisu.
ako pod u matematicki dio treba ubaciti tekst, koristiti \text{.....}.
i za iff recimo \Longleftrightarrow![\Longleftrightarrow](/media/m/b/4/3/b43f491566f6cc471a7d220723e8b9d3.png)
i naravno, procitati ono na dnu http://skoljka.no-ip.org/help/ za pocetak.
nije lose uvijek pisati zagrade automatske velicine: \left(, \right), \left[, \right], \left\{, \right\}. detalj po detalj i nauci se. :)
za pomoc uvijek mozes pitati na https://www.facebook.com/pages/TeXLaTeX-savjeti/261129223970236
mozda je nepotrebno pisati tutorial kad tu ima sve: http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX, a pod http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics pogotovo. a najbolje se uci kad se vidi kako drugi pisu.
ako pod u matematicki dio treba ubaciti tekst, koristiti \text{.....}.
i za iff recimo \Longleftrightarrow
![\Longleftrightarrow](/media/m/b/4/3/b43f491566f6cc471a7d220723e8b9d3.png)
i naravno, procitati ono na dnu http://skoljka.no-ip.org/help/ za pocetak.
nije lose uvijek pisati zagrade automatske velicine: \left(, \right), \left[, \right], \left\{, \right\}. detalj po detalj i nauci se. :)
za pomoc uvijek mozes pitati na https://www.facebook.com/pages/TeXLaTeX-savjeti/261129223970236
Ok evo ispravit cu :D tutorial bi bio super hehe
Zadnja promjena: kokan, 14. travnja 2012. 18:41
Filip_Wee, 14. travnja 2012. 18:16
kokan, 14. travnja 2012. 17:42
ikicic, 14. travnja 2012. 17:20
Filip_Wee, 14. travnja 2012. 16:27