Školjka

%V0 ako je x<-1 onda $2^x$ i $2^{2x+1}$ nisu cjelobrojni. sada dokažimo da i njihov zbroj nije cjelobrojan. Kako bi $1/2^n + 1/2^m$, $m>=n$ bio cjelobrojan, oni moraju biti isti i moraju biti $1/2$ dokaz: $1/2^n+1/2^m=(2^{m-n}+1)/2^m$ što je cjelobrojno kada je $m-n=0$ i $m=1$ ---->$x>-1$ izlučimo 2^x te oduzmemo 1 od cijele jednadžbe i dobimo: $2^x\cdot(2^{x+1}+1)=(y+1)\cdot(y-1)$ kako su y-1 i y+1 udaljeni za 2, jedan od njih je djeljiv s 2 i ne sa 4 tako da: $y=2^{x-1}\cdot k +-1$ Gdje je k neparan uvrstimo to u jednadžbu: $1+2^x+2^{2x+1}=2^{2x-2}k^2+-2^xk+1$ $8\cdot2^{2x-2}+2^x=k^22^{2x-2}+-k2^x$ 1. + $(8-k^2)2^{2x-2}=(k-1)2^x$ k<3 a) k=2 --->k mora biti neparan b) k=1 $7\cdot2^{2x-2}=0$ x ne postoji 2. - $(k^2-8)2^{2x-2}=(k+1)2^x /:2^x$} $(k^2-8)2^{x-2}=k+1$ x>=0 (jer ako je manji od 0 onda y nije cijeli broj) x=0 onda je $k^2-4k-12=0$ rješenja su -2,6 tj. y= -2,0,2,4 a rješenja su 2,-2 jer moraju biti suprotnog predznaka. kako je y rješenje mora biti rješenje i -y. a 0 nije rješenje jer lijeva strana nije 0. x=0 ---->y=+-2 tj; (x,y)=(0,2),(0,-2) x=1 y nije cjelobrojan x=2 y nije cjelobrojan x=3 y nije cjelobrojan x=4 y=+-23 (x,y)=(4,23),(4,-23) ako je x>=5 k nesmije biti veći od 4 (kada je veći od 4, x mora biti manji od 5 ni manji jednak -3 jer je inače desna strana manja od lijeve. Također, k je neparan ostaje nam: k=-1 -> $2^{x-2}=0$ nema rješenja k=1 -> $2^{x-2}=-2/7$ nema rješenja k=3 -> x=4, y=+-23 I to su sva rješenja: (x,y)=(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)