Rješenja zadatka "Državno natjecanje 1994 SŠ2 2" korisnika "mgradicek"

Točno

14. travnja 2012. 20:23 (13 godine, 7 mjeseci)

Korisnik: mgradicek
Zadatak: Državno natjecanje 1994 SŠ2 2 (Sakrij tekst zadatka)

Neka je $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kvadratna funkcija $f\!\left(x\right) = ax^2+bx+c$ . Označimo sa $D$ diskriminantu, sa $P$ umnožak, a sa $S$ zbroj njezinih nultočaka. Pokažite da postoji samo jedna funkcija $f$ za koju su $a$ , $D$ , $P$ , $S$ četiri uzastopna cijela broja (u rastućem poretku).

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

1) a+1=b^2-4ac
2) a+2=c/a
3) a+3=-b/a

iz 2) se vidi da a|c
iz 3) se vidi da a|b

1)
a+1=b^2-4ac
a+4ac=b^2-1
a(1+4c)=(b-1)(b+1)

što znači da a djeli ili b-1, ili b+1, te iz 3) se vidi da djeli b, što znači da a djeli 2 uzastopna broja
to je moguće samo ako je a=+-1
provjeravanjem se vidi da je jedino rješenje a=-1

Školjka

Ocjene: (1)