Find all pairs of integers for which there exists a polynomial such that product is a polynomial of a form where each of is equal to or .
%V0
Find all pairs of integers $a,b$ for which there exists a polynomial $P(x) \in \mathbb{Z}[X]$ such that product $(x^2+ax+b)\cdot P(x)$ is a polynomial of a form $$x^n+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1x+c_0$$ where each of $c_0,c_1,...,c_{n-1}$ is equal to $1$ or $-1$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Za , vrijedi jer možemo uvrstiti , a polinom zadovoljava uvjete zadatka.
Ukoliko je barem jedan od i različit od , je nekonstantan. Neka je Tada vrijedi , dakle Vrijedi i Dakle i Kontradikcija.
Dakle jedina rješenja su
%V0
Za $a,b \in \{\pm 1\}$, vrijedi jer možemo uvrstiti $P(x)=1$, a polinom $ x^2 \pm x \pm 1 $ zadovoljava uvjete zadatka.
Ukoliko je barem jedan od $a$ i $b$ različit od $\pm 1$, $P(x)$ je nekonstantan.
Neka je $P(x)=p_{n-2}x^{n-2} + p_{n-3}x^{n-3} + ... + p_1x + p_0$
Tada vrijedi
$ p_0 \cdot b = c_0 = \pm 1 $, dakle $b=\pm 1$
Vrijedi i
$ p_{n-2} \cdot 1=1 \newline p_{n-2} \cdot a =c_{n-1} = \pm 1 $
Dakle i $a=\pm 1$ Kontradikcija.
Dakle jedina rješenja su $ a,b \in \{\pm 1\} $
Školjka 
for which there exists a polynomial ![P(x) \in \mathbb{Z}[X]](/media/m/c/8/8/c88440085030c32a41066167316e5adc.png)
such that product 
is a polynomial of a form 
where each of 
is equal to 
or 
. 
, vrijedi jer možemo uvrstiti 
, a polinom 
zadovoljava uvjete zadatka.
i 
različit od 
, 
je nekonstantan.
, dakle 
Kontradikcija.
?