Točno
11. travnja 2015. 21:10 (9 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Primjetimo da ne postoji
takav da
(jer to implicira
, dakle
).
Ako uparimo svaku nulu sa nenula brojem na lijevo, primjetimo da svaki broj se nalazi u najvise jednom paru, te broj parova je jednak broju nuli, dakle broj nula je najvise
.
Dakle![\sum{a_i} \geqslant n+1 - \left \lfloor \dfrac{n+1}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor + 1](/media/m/b/d/a/bda0aaa16ff53d25c3b4432ef2961e32.png)
Nadalje
je valjana konstrukcija za koju postizemo sumu
, pa je ekvivalentno dokazati (i evaluirati jednakost za):
![\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor + 1 \geqslant \dfrac{F_{n+2} - 1}{F_n}](/media/m/2/9/6/296896f46b2ef87d05d126c3b3a6b2a6.png)
dakle vrijedi stroga nejednakost za ![n \geqslant 4](/media/m/a/e/7/ae703647eaf11e2125d60d59085efcca.png)
Jednakost vrijedi samo za
![i](/media/m/3/2/d/32d270270062c6863fe475c6a99da9fc.png)
![a_i = a_{i+1} = 0](/media/m/b/2/8/b2886d9d711ef2cfcc9ebc644f489541.png)
![a_{i-1} = 0](/media/m/a/e/6/ae6b2f356d33a9bbcebc4ec63f86831c.png)
![a_0 = 0](/media/m/0/4/7/0471eca23d871c11edd98d44cf6ecffb.png)
Ako uparimo svaku nulu sa nenula brojem na lijevo, primjetimo da svaki broj se nalazi u najvise jednom paru, te broj parova je jednak broju nuli, dakle broj nula je najvise
![\left \lfloor \dfrac{n+1}{2}\right\rfloor](/media/m/f/a/0/fa00117a5982d7bd14d77b5db135ec87.png)
Dakle
![\sum{a_i} \geqslant n+1 - \left \lfloor \dfrac{n+1}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor + 1](/media/m/b/d/a/bda0aaa16ff53d25c3b4432ef2961e32.png)
Nadalje
![a_{2k}=1, \ a_{2k+1}=0](/media/m/3/f/a/3faa59afd3b2c53bfee20e57805f02e5.png)
![\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor + 1](/media/m/8/8/5/88532c476a12f7951a744c67a5158399.png)
![\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor + 1 \geqslant \dfrac{F_{n+2} - 1}{F_n}](/media/m/2/9/6/296896f46b2ef87d05d126c3b3a6b2a6.png)
![\dfrac{F_{n+2} - 1}{F_n} = 2 + \dfrac{F_{n-1}-1}{F_n} < 3](/media/m/0/3/5/03551795781dc82aa09812430c1dbadf.png)
![n \geqslant 4](/media/m/a/e/7/ae703647eaf11e2125d60d59085efcca.png)
Jednakost vrijedi samo za
![n = 2, 3](/media/m/1/3/5/135bd6e3008d9bdf035b9b77f01ad6c4.png)