Točno
30. studenoga 2015. 10:33 (8 godine, 7 mjeseci)
Sakrij rješenje
Sakrij rješenje
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
a)
Očito
je najmanja moguća vrijednost
jer sve druge prirodne brojeve dijeli barem jedan prost broj pa
.
b)
Neka
.
Tada![p(n) = \frac{\Sigma a_i^0}{\Pi(a_i+1)}](/media/m/3/8/4/384075d01ac91f4219dffb12d27cdbae.png)
Povećanje bilo koje vrijednosti
ne mijenja brojnik, ali povećava nazivnik, pa je dovoljno promatrati samo brojeve oblika
(
)
Tada
, koji doseže maksimum za
.
Prema tome, maksimalna vrijednost
je
Očito
![p(1) = 0\%](/media/m/e/d/1/ed18505631efe547abe18a85033f4fff.png)
![prostotka](/media/m/f/0/3/f03bdcf73a97359f56b2bfe922926f32.png)
![p(n) > 0](/media/m/4/1/0/410cc8e031a718bfe54bfed5c296693a.png)
b)
Neka
![n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}}](/media/m/8/0/8/8089b8e396fa078b0cb8ca31c21c1bd6.png)
Tada
![p(n) = \frac{\Sigma a_i^0}{\Pi(a_i+1)}](/media/m/3/8/4/384075d01ac91f4219dffb12d27cdbae.png)
Povećanje bilo koje vrijednosti
![a_i](/media/m/2/a/2/2a22407e8a19d2df9d425caa379f34a8.png)
![n = p_1 p_2 ...p_{\omega(n)}](/media/m/3/f/e/3fe227b4f75188490dc954664d8f502e.png)
![i\neq j \implies p_i \neq p_j](/media/m/6/e/9/6e96c6bb44081bb73eab2b2cd2cdaba0.png)
Tada
![p(n) = \frac{\omega(n)}{2^{\omega(n)}}](/media/m/b/2/b/b2bc57ee03a2d89d179b698daf50887c.png)
![\omega(n) \in \{1, 2\}](/media/m/9/0/9/90928d9b7131675d79bf790a371db9a9.png)
Prema tome, maksimalna vrijednost
![prostotka](/media/m/f/0/3/f03bdcf73a97359f56b2bfe922926f32.png)
![p(p_1) = p(p_1 p_2) = 50 \%](/media/m/f/b/1/fb1fa6c7ad1c1a04ab6e919a2699a2d0.png)