Školjka

%V0 a) Pretpostavimo da postoji samo konačno $k$-ova t. d. vrijedi $p_{k+1}<p_k$. To znači da od nekog $n_0 \in \mathbb{N}$ nadalje udjeli rastu. Očito, ako raste udio, mora rasti i broj prostih ($N_i$) po intervalu. Iz toga se vidi da je $N_{n_0+k}\geq N_{n_0}+k$. Posebno, $N_{2n_0}\geq N_{n_0}+n_0\geq n_0$. Iz toga imamo $p_{2n_0}=\frac{N_{2n_0}}{2n_0}\geq \frac{1}{2}$, što je nemoguće (čak i kad bi svaki neparni bio prost:) ) $\Rightarrow$ Postoji ih beskonačno. b) Opet, pretpostavimo da postoji samo konačno takvih $k$-ova. To znači da od nekog $n_1$ nadalje udio pada. Lako se vidi da tada broj prostih stagnira ili pada. Dobivamo da za $n>n_0$ vrijedi $N_n \leq N_{n_1}$, tj. broj prostih u intervalima je odozgo ograničen. To je također nemoguće (što se vidi iz, npr, "Bertrandovog postulata").