50%
15. travnja 2012. 18:54 (12 godine, 3 mjeseci)
Neka je skup prirodnih brojeva podijeljen u intervale na sljedeći način:
U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni).
Neka je
udio prostih brojeva u
-tom intervalu.
a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
za koje je
.
b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
za koje je
.
U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni).
Neka je
![p_i](/media/m/a/8/f/a8f743e52bdf378b0d60cad5e265de33.png)
![i](/media/m/3/2/d/32d270270062c6863fe475c6a99da9fc.png)
a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![p_{k+1} < p_k](/media/m/0/2/5/02570cdf178e202513ee540dcc9ca231.png)
b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![p_{k+1} > p_k](/media/m/0/6/3/063956f47798129e9c3c554385b0cdab.png)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
a)
Pretpostavimo da postoji samo konačno
-ova t. d. vrijedi
. To znači da od nekog
nadalje udjeli rastu. Očito, ako raste udio, mora rasti i broj prostih (
) po intervalu. Iz toga se vidi da je
. Posebno,
. Iz toga imamo
, što je nemoguće (čak i kad bi svaki neparni bio prost:) )
Postoji ih beskonačno.
b)
Opet, pretpostavimo da postoji samo konačno takvih
-ova. To znači da od nekog
nadalje udio pada. Lako se vidi da tada broj prostih stagnira ili pada. Dobivamo da za
vrijedi
, tj. broj prostih u intervalima je odozgo ograničen. To je također nemoguće (što se vidi iz, npr, "Bertrandovog postulata").
Pretpostavimo da postoji samo konačno
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![p_{k+1}<p_k](/media/m/2/6/d/26dcd247efb7b89363c9560a06e767e1.png)
![n_0 \in \mathbb{N}](/media/m/4/c/c/4cc87bd56103463c19e5ba45ce4072c4.png)
![N_i](/media/m/7/0/0/7004b41140fefc0d8c3c5d553899a5b8.png)
![N_{n_0+k}\geq N_{n_0}+k](/media/m/d/8/3/d839da21cf6598480df1dc6ba07bab35.png)
![N_{2n_0}\geq N_{n_0}+n_0\geq n_0](/media/m/5/e/f/5ef21361ea23003d5987544ef6270d86.png)
![p_{2n_0}=\frac{N_{2n_0}}{2n_0}\geq \frac{1}{2}](/media/m/d/2/e/d2e0e83a862d7d03c06766be31de20e4.png)
![\Rightarrow](/media/m/6/4/c/64ce898401e583cb899f61f78bdf1dfb.png)
b)
Opet, pretpostavimo da postoji samo konačno takvih
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![n_1](/media/m/7/0/e/70e80a4aa999d3759ac6c6a089dcb575.png)
![n>n_0](/media/m/9/3/d/93d782eb030efeace42d9c0a4e1677c3.png)
![N_n \leq N_{n_1}](/media/m/7/7/5/77597e45e4d52312672cab07a6733b63.png)
Ocjene: (4)
Komentari:
pbakic, 19. travnja 2012. 15:02
Uf, istina, izgledalo mi je preočito pa sam malo požurio s rješenjem :)
Vidio sam tvoje, najs je
Vidio sam tvoje, najs je
moze se izbjeci bertrandov postulat koji nije elementaran, ali nisam siguran da to slijedi iz bertrandovog postulata (izmedu n i 2n postoji prost broj) jer cak i ne postoji interval u kojemu su i n i 2n...
dcevid, 19. travnja 2012. 13:23
Filip_Wee, 16. travnja 2012. 18:05