Točno
10. siječnja 2016. 19:47 (8 godine, 6 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
domisljat naziv :)
opcenito napisimo prirodni
u rastavu na proste faktore:
.
tada je
.
(a) jasno da je
, i da se
postize ako i samo ako je
, tj
.
takoder, iako zadatak to eksplicitno ne trazi, zanimljivo je vidjeti da za
prostotak moze doci proizvoljno blizu
, ali jasno ne moze bas biti
. npr za niz
, odgovarajuci niz prostotaka je
, sto moze biti po volji malo, ali nikada bas
.
(b) za fixni
, prostotak se ocito maximizira za
. trazimo dakle maksimum od
. za
, ova funkcija ima vrijednost
. za
je funkcija strogo padajuca sto nije tesko vidjeti deriviranjem ili npr indukcijom. zato najveci prostotak imaju oni prirodni brojevi koji su prosti ili umnozak dva razlicita prosta broja, i njihov prostotak iznosi
.
opcenito napisimo prirodni
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![n = p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}](/media/m/3/3/9/339f15d899ede4209b6954e57ca9093b.png)
tada je
![p(n) = \frac{k}{(1+\alpha_1)\cdot\ldots\cdot(1+\alpha_k)}](/media/m/c/b/e/cbe0b0837d277ed6bfe4e650b3438509.png)
(a) jasno da je
![p(n) \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}](/media/m/7/0/0/70077680f37aade277ad38edcba5f5d1.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![k=0](/media/m/c/a/8/ca8e06e5acf1f6a7b866fb274c07c278.png)
![n = 1](/media/m/6/0/b/60bd22f83584e59c0352d20be6119425.png)
takoder, iako zadatak to eksplicitno ne trazi, zanimljivo je vidjeti da za
![n > 1](/media/m/c/8/9/c8999d29e042cf52e485c7a7b7301b0a.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![2^n](/media/m/8/e/a/8ea40429bb1e68f68f9e7a97fd5351f7.png)
![\frac{1}{n+1}](/media/m/f/2/9/f295cb65602819353a4d63c27fde07f6.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
(b) za fixni
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![\alpha_1 = \ldots = \alpha_k = 1](/media/m/e/4/4/e441696ec6a6be2e244f9df323ca3786.png)
![\frac{k}{2^k}](/media/m/d/1/a/d1abb1b9ae5eb5cb5af89e9c46553911.png)
![k = 1, 2](/media/m/7/0/5/70590d67e678f06271ce1cfd9f31edc1.png)
![\frac{1}{2}](/media/m/9/9/6/996a8383590e130ec3396bf59c0d20fd.png)
![k \geq 3](/media/m/b/b/6/bb6bcb5e80a7ceffb54e3f4cb613665c.png)
![\frac{1}{2}](/media/m/9/9/6/996a8383590e130ec3396bf59c0d20fd.png)