Školjka

%V0 domisljat naziv :) opcenito napisimo prirodni $n$ u rastavu na proste faktore: $n = p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$. tada je $p(n) = \frac{k}{(1+\alpha_1)\cdot\ldots\cdot(1+\alpha_k)}$. [b](a)[/b] jasno da je $p(n) \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}$, i da se $0$ postize ako i samo ako je $k=0$, tj $n = 1$. takoder, iako zadatak to eksplicitno ne trazi, zanimljivo je vidjeti da za $n > 1$ prostotak moze doci proizvoljno blizu $0$, ali jasno ne moze bas biti $0$. npr za niz $2^n$, odgovarajuci niz prostotaka je $\frac{1}{n+1}$, sto moze biti po volji malo, ali nikada bas $0$. [b](b)[/b] za fixni $k$, prostotak se ocito maximizira za $\alpha_1 = \ldots = \alpha_k = 1$. trazimo dakle maksimum od $\frac{k}{2^k}$. za $k = 1, 2$, ova funkcija ima vrijednost $\frac{1}{2}$. za $k \geq 3$ je funkcija strogo padajuca sto nije tesko vidjeti deriviranjem ili npr indukcijom. zato najveci prostotak imaju oni prirodni brojevi koji su prosti ili umnozak dva razlicita prosta broja, i njihov prostotak iznosi $\frac{1}{2}$.