Točno
23. siječnja 2016. 10:30 (8 godine, 5 mjeseci)
Dva igrača,
i
igraju sljedeću igru:
i
zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od
. Igrač
igra prvi, a znamenke se pišu redom slijeva nadesno. Igrač
pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s
,
ili
, a u suprotnom pobjeđuje igrač
. Dokaži da igrač
ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača
.
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Napomena: pod kongruencijom uvijek se misli
.
Potezi su
. Primijetimo da ako je zadnja znamenka iz
igrač
gubi. Ako je ta znamenka iz
gubitak nije nužan. Zato
upisuje jednu od tih znamenaka na kraju, a nijednu prije, jer
ih treba nastojati ograničiti. Ako su sve znamenke
izgubljene na kraju
nužno gubi.
Zato sada trebamo gledati djeljivost sa
.
i
. Imamo nulu viška i to među
.
Strategija igrača
je onda riješiti se brojeva
za igrača
tako da on na kraju mora napisati
i da da je broj
djeljiv s
.
To ostvaruje ovako: U prvom i trećem potezu upisuje
i
(poredak je nebitan). Zatim u petom potezu upisuje neku znamenku tako da je broj
djeljiv s 3.
Zadnja nada igrača
je ograničiti ostatke igraču
. To mu ne uspjeva. Ostatak ako zanemarimo poteze igrača
je
. S dvama dvojkama ostatak je
pa
samo igra jednu od
. S dvama jedinicima je
i
igra dvojku. S dvama nulama
igra jedinicu. Ako
ne igra na taj način
jednostavno ima sve ostatke na raspolaganju. Dakle,
pobjeđuje.
![mod](/media/m/a/0/2/a02cd7f641af3dd83a626eb20dc4a720.png)
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
Potezi su
![ABABAB](/media/m/7/f/b/7fb12f7beaf9f11bf191701e03575e58.png)
![{0,2,4,5,6,8}](/media/m/2/5/f/25f68dcc5dcd9aa129b42ca5c56720e5.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![{1,3,7,9}](/media/m/8/3/e/83ec9967d02e63e007b2a4259d438d69.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![{1,3,7,9}](/media/m/8/3/e/83ec9967d02e63e007b2a4259d438d69.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
Zato sada trebamo gledati djeljivost sa
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
![(2,4,6,8,0,5) \equiv (2,1,0,2,0,1)](/media/m/e/8/e/e8ed967edd7d4d5c8d70eff33a4f0a38.png)
![(1,3,7,9) \equiv (1,0,2,0)](/media/m/7/8/2/7820ba64a5c72982382a6a49acc92bd3.png)
![1,3,7,9](/media/m/a/a/5/aa5a02790b482ccadbe6661d8b737658.png)
Strategija igrača
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![1,7](/media/m/a/c/2/ac2079b2f6dafc80fed581fb8a12396d.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![3,9 \equiv 0](/media/m/5/c/7/5c7d75ebc9e8e7e17dfb0e6aed15ad87.png)
![ABABA](/media/m/6/3/2/63213ee1b5597417d50af8be69781bf1.png)
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
To ostvaruje ovako: U prvom i trećem potezu upisuje
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![7](/media/m/5/1/9/519154d5119d15088eebb25b656d58dd.png)
![ABABA](/media/m/6/3/2/63213ee1b5597417d50af8be69781bf1.png)
Zadnja nada igrača
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
grga, 4. veljače 2016. 22:31
mislim da bi trebao argumentirati sto ako
izabere u svom prvom potezu
ili
(onu koju ne odabere
). istina da nije neki pametan slucaj, ali to se moze dogoditi a nisi to pokrio u ovome sto si napisao. inace je tocno, ali je dosta zbrkano zapisano. ako kanis ostvariti neke bodove na natjecanju iskreno ti preporucam da pogledas npr ovdje http://vinkovic.org/Projects/MindExercises/matematika/2009-SS-A.pdf sluzbeno rjesenje.
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![7](/media/m/5/1/9/519154d5119d15088eebb25b656d58dd.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)