Točno
6. ožujka 2016. 16:26 (8 godine, 4 mjeseci)
Na ploči su zapisani neki cijeli brojevi. U svakom koraku odabiremo brojeve
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
i
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
koji se nalaze na ploči, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve
![3a-b](/media/m/d/2/f/d2ff75ddd95186d6cf3009313c32f163.png)
i
![13a-3b](/media/m/5/c/0/5c033b24bcef66a40c2ff7bfac158291.png)
.
Ako su na početku na ploči brojevi
![1, 2, 3, 4,\ldots, 2011, 2012](/media/m/1/7/b/17b621b149f090ae294aa68c71887124.png)
, mogu li se nakon konačnog broja koraka na ploči nalaziti brojevi
![2,4,6,8,\ldots,4022,4024](/media/m/2/e/a/2eaebe73b099656a967892e10f307ce3.png)
?
%V0
Na ploči su zapisani neki cijeli brojevi. U svakom koraku odabiremo brojeve $a$ i $b$ koji se nalaze na ploči, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve $3a-b$ i $ 13a-3b$.
Ako su na početku na ploči brojevi $1, 2, 3, 4,\ldots, 2011, 2012$, mogu li se nakon konačnog broja koraka na ploči nalaziti brojevi $2,4,6,8,\ldots,4022,4024$?
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Promjena sume svih članova pri transformaciji je:
![16a-4b-a-b=15a-5b=5(3a-b)](/media/m/4/b/b/4bb4f1c6c94a7c33306d30417b89369e.png)
. Dakle ostatak pri dijeljenju sume svih članova s
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
se neće promijeniti. Ovdje dolazimo do kontradikcije (vidi dole) pa zadatak nije moguće napraviti.
![1+2+...+2012 \ mod \ 5 = 2011+2012 \ mod \ 5 = 3](/media/m/b/f/b/bfbccc930aad5e4186d7f8e6baaa1ce5.png)
dok je
![2+4+6+8+...+4024 \ mod \ 5 = 2(1+2+3+...2012) \ mod \ 5 = 1](/media/m/2/9/3/29330a3545ebad373e3876e317e3dae3.png)
.
%V0
Promjena sume svih članova pri transformaciji je: $16a-4b-a-b=15a-5b=5(3a-b)$. Dakle ostatak pri dijeljenju sume svih članova s $5$ se neće promijeniti. Ovdje dolazimo do kontradikcije (vidi dole) pa zadatak nije moguće napraviti.
$1+2+...+2012 \ mod \ 5 = 2011+2012 \ mod \ 5 = 3$ dok je $2+4+6+8+...+4024 \ mod \ 5 = 2(1+2+3+...2012) \ mod \ 5 = 1$.
20. ožujka 2016. 15:09 | ikicic | Točno |