Školjka

Primjenimo adicijsku formulu na LHS zadanog izraza $$8\cos{x}\cos{y}\cos(x-y)+1=8\cos{x}\cos{y}(\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y})+1$$ $$=8\cos^2{x}\cos^2{y}+8\cos{x}\cos{y}\sin{x}\sin{y}+1$$ Oduzmemo RHS s obije strane i pojednostavimo izraz koristeći Pitagorin poučak $$8\cos^2{x}\cos^2{y}+8\cos{x}\cos{y}\sin{x}\sin{y}+1>4(\cos^2{x}+\cos^2{y})$$ $$-4\cos^2{x}(1-\cos^2{y})-4\cos^2{y}(1-\cos^2{x})+8\cos{x}\cos{y}\sin{x}\sin{y}+1>0$$ $$-4\cos^2{x}\sin^2{y}-4\cos^2{y}\sin^2{x}+8\cos{x}\cos{y}\sin{x}\sin{y}+1>0$$ Daljnjim grupiranjem i primjenom adicijskih formula nejednakost se svodi na $$1-4\sin^2(x-y)>0$$ odnosno $$|\sin(x-y)|<\frac{1}{2}$$ Ako je $x-y=u$, ova nejednakost će vrijedi za $u\in \left \langle -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6} \right \rangle$ i početna tvrdnja će biti dokazana. S obzirom da imamo izbor 4 broja iz intervala $\left \langle 0,\frac{\pi}{2} \right \rangle$ po Dirichletovom principu barem 2 od ta broja biti će u intervalu $\left \langle 0,\frac{\pi}{6} \right \rangle$ ili u intervalu $\left [\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} \right \rangle$. Ako su zadana dva broja u intervalu$\left \langle 0,\frac{\pi}{6} \right \rangle$, njih izabremo kao x i y i nejednakost će vrijediti. Ako nisu zadana dva broja u intervalu $\left \langle 0,\frac{\pi}{6} \right \rangle$ onda mora biti zadano barem tri broja u intervalu $\left [\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} \right \rangle$. Kada bi mogli izabrati dva broja tako da nejednakost ne vrijedi, razlika između ta dva broja bi morala biti veća od $\frac{\pi}{6}$. No s obzirom da postoje tri broja u intervalu $\left [\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} \right \rangle$, to nije moguće ($\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$) i uvijek ćemo moći izabrati dva broja čija je razlika manja od $\frac{\pi}{6}$. Time je nejednakost dokazana.