Školjka

%V0 Neka je $n$ prirodan broj. Dokaži da je broj neparnih brojeva među brojevima $$ {2n + 1 \choose 1}, \ {2n + 1 \choose 2}, \ \dots, \ {2n + 1 \choose k}, \ \dots, \ {2n + 1 \choose n} $$ neparan.

%V0 Ivan, Stipe i Tonći izmjenjuju se u bacanju kockice. Prvi baca Ivan, onda Stipe pa Tonći, i nakon toga opet Ivan i tako dalje istim redom. Svaki od njih, kad je njegov red, baca kockicu jednom, sve dok ne dobije prvu šesticu. Nakon što dobije svoju prvu šesticu, u svakom idućem bacanju Ivan baca kockicu četiri, Stipe šest, a Tonći osam puta. Tonći je zadnji dobio prvu šesticu, u svom desetom bacanju, i tada je igra završila. Ako je kockica bačena $47$ puta, odredi tko je od njih kockicu bacao najviše puta.

%V0 Matija i Tomislav igraju sljedeću igru: Svaki od njih baca par igraćih kocaka. Ako barem jedan od njih dobije zbroj brojeva na kockama djeljiv s $3$, onda pobjeđuje Matija; inače, pobjeđuje Tomislav. Kolika je vjerojatnost da će Matija pobijediti?

%V0 Obojana drvena kocka prepiljena je na $n^3$ ($n>2$) jednakih kockica. Ako je poznato da je broj kockica, kojima je točno jedna strana obojana, jednak broju kockica kojima niti jedna strana nije obojana, odredi broj $n$.

%V0 Ako su $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2003}$ cijeli brojevi i $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_{2003}$ ti isti brojevi poredani na neki drugi način, dokažite da je produkt $$ (a_1+b_1)(a_2+b_2) \ldots (a_{2003}+b_{2003}) $$ paran broj.

%V0 Svako polje ploče $1000 \times 1000$ obojano je crnom ili bijelom bojom. Ukupan broj crnih polja na ploči je za $2012$ veći od ukupnog broja bijelih polja. Dokaži da postoji kvadrat $2 \times 2$ koji sadrži tri polja jedne boje i jedno polje druge boje.