Školjka

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$ a_1=1, \quad a_2=3, \qquad a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \ \text{ za } \ n\geq 3. $$ Dokaži da vrijedi nejednakost $a_n<\left(\dfrac{7}{4}\right)^n$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

%V0 Tri različita realna broja, različita od nule, čine aritmetički niz, a njihovi kvadrati u istom poretku čine geometrijski niz. Odredi sve moguće vrijednosti kvocijenta tog geometrijskog niza.

%V0 Neka je $(x_n)_{n \in \mathbb{N} }$ niz realnih brojeva različitih od nule takav da vrijedi $$ {x_n}^2-x_{n+1}x_{n-1}=1,\qquad \forall n\geq 2. $$ Dokaži da izraz $\dfrac{x_{n+1}+x_{n-1}}{x_n}$ poprima istu vrijednost za svaki $n\geq 2$.

%V0 Niz $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $\dots$ definiran je ovako: $$$\begin{align*} a_1&=1, \\ a_n&= \dfrac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}),\quad n>1. \end{align*}$$$ Odredite $a_{1999}$.

%V0 Zadana su prva tri člana geometrijskog niza $1$, $q$, $q^2 \quad (q > 0$, $q \neq 1)$. $(a)$ Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ tako da kvadrati brojeva $1-x$, $q-x$, $q^2-x$ čine aritmetički niz, a zatim ispitajte predznak od $x$ za razne vrijednosti $q.$ $(b)$ Izrazite razliku tog aritmetičkog niza kao funkciju od $q$. Koji uvjet zadovoljava $q$ ako je ovaj niz rastući?

%V0 Ako je $x_{1} = 1$ i $x_{n+1} = \dfrac{1}{1 + x_{n}}$ za svaki $n \in \mathbb{N}$, dokažite da je $$ x^{2}_{1994} + x_{1994} < 1. $$