Školjka

%V0 Odredi najveći cijeli broj $n$ za koji vrijedi nejednakost $$3\left(n-\dfrac 53\right)-2(4n+1)>6n+5\text{.}$$

%V0 Odredi sve realne brojeve $a$ takve da, za svaki realan broj $x$, vrijedi $$ \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 3} > \dfrac{x + a}{1+x+x^2}. $$

%V0 Neka je $0<a<b<c<d$. Dokažite da je $a^bb^cc^dd^a\ge b^ac^bd^ca^d$.

%V0 Ako su $n$ i $k$ prirodni brojevi, $k\leq n$, dokažite nejednakosti $$ \frac{n^k}{k^k}\leq \binom{n}{k} \leq \frac{n^k}{k!}. $$

%V0 Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi nejednakost $$ \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\dots+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n+1}>1. $$

%V0 Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ i nenegativan realan broj $a$ vrijedi nejednakost $$ n(n+1)a+2n\geq 4\sqrt{a}(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}). $$