Školjka

%V0 Za svaki prirodan broj $n$ funkcija $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ zadovoljava uvjet $$ f(1)+f(2)+\ldots +f(n)=n^2f(n). $$ Ako je $f(1)=1002$, odredite $f(2004)$.

%V0 Dana je funkcija $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$, za koju vrijedi: $$f(x+1) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)},\qquad \text{za}\;\text{svaki} \;x \in \mathbb{Z}\text{.}$$ Ako je $f(1)=2$, odredite $f(2004)$.

%V0 Nađite sve strogo rastuće funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, takve da je $f^{-1} = f$.

%V0 Zadana su prva tri člana geometrijskog niza $1$, $q$, $q^2 \quad (q > 0$, $q \neq 1)$. $(a)$ Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ tako da kvadrati brojeva $1-x$, $q-x$, $q^2-x$ čine aritmetički niz, a zatim ispitajte predznak od $x$ za razne vrijednosti $q.$ $(b)$ Izrazite razliku tog aritmetičkog niza kao funkciju od $q$. Koji uvjet zadovoljava $q$ ako je ovaj niz rastući?

%V0 Nađite sve funkcije $f : \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} \rightarrow \mathbb{R}$ koje zadovoljavaju jednadžbu $$ f\left( \frac{x-3}{x+1} \right) + f\left( \frac{3+x}{1-x} \right)=x \text{.} $$

%V0 Razlika recipročnih vrijednosti dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je $0.0aaa\dots=0.0\dot{a}$. Koje vrijednosti može poprimiti znamenka $a$?