Školjka

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi, takvi da je $a\ne b\ne c\ne a$, dokažite da je $$\frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}\text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ međusobno različiti realni brojevi, od kojih nijedan nije jednak nuli, i za koje je $a+b+c=0$. Dokažite da vrijedi: a) $\displaystyle{\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3}$, b) $\displaystyle{\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+ \frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c} +\frac{b}{c-a}\right)=9}$.

%V0 Ako je $ax^3=by^3=cz^3 $ i $\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1}$, dokažite jednakost $$\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.$$

%V0 Ako je $$ ax^3=by^3=cz^3\qquad \text{i}\qquad \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1, $$ pokaži da je $$ \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}. $$

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $x$ za koje je $$ 1 + a + a^2 + \ldots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)(1 + a^8)\ldots (1 + a^{2^n}), $$ gdje je $a$ realan i $n$ prirodan broj.

%V0 Razlika recipročnih vrijednosti dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je $0.0aaa\dots=0.0\dot{a}$. Koje vrijednosti može poprimiti znamenka $a$?