Školjka

%V0 Dana je elipsa čija je jednadžba $x^2+4y^2=36$. Kružnica $k$ ima središte u točki $(0,3)$ i prolazi žarištima dane elipse. Odredi sva sjecišta kružnice $k$ s elipsom.

%V0 Ako točka $P$ opisuje elipsu čiji su fokusi $F_1$ i $F_2$, koju krivulju opisuje težište trokuta $F_1 F_2P$?

%V0 Na krivulji s jednadžbom $y=x^4-2x^2$ nalaze se $4$ različite točke $T_k=(x_k,y_k)$, $k=1,2,3,4$. Ako točke $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ leže na jednom pravcu, dokažite da je $x_1+x_2+x_3+x_4=0$.

%V0 Na elipsi sa središtem $O$ nalaze se točke $A$ i $B$ takve da je $\angle AOB=90^\circ$. Dokažite da udaljenost točke $O$ od pravca $AB$ ovisi samo o duljinama poluosi elipse.

%V0 Na krakovima šiljastog kuta $\alpha $ s vrhom $A$ dane su točke $D$ i $E$, tako da je $|AD|=m$ i $|AE|=n$. U točkama $D$ i $E$ povučene su okomice na krakove kuta na kojima leže. Ako se te dvije okomice sijeku u točki $F$ u unutrašnjosti kuta, dokažite da je $$ \frac{|DF|}{|EF|}=\frac{n-m\cos \alpha }{m-n\cos \alpha }. $$

%V0 Odredite jednadžbu pravca $p$ koji prolazi točkom $T(-1,\,1)$, a polovište segmenta kojeg na $p$ odsjecaju pravci $x + 2y - 1 = 0$ i $x + 2y - 3 = 0$ leži na pravcu $x - y - 1 = 0$.