Školjka

%V0 Kružnica je upisana u jednakostraničan trokut kojem je duljina stranice $6$. Pokaži da za svaku točku $T$ na toj kružnici vrijedi jednakost: $$ |TA|^2+|TB|^2+|TC|^2=45. $$

%V0 Ako su duljine stranica trokuta tri uzastopna člana aritmetičkog niza, dokaži da su tada kotangensi polovičnih kutova tog trokuta također uzastopni članovi nekog aritmetičkog niza.

%V0 Ako su $\alpha $, $\beta $ i $\gamma $ kutovi trokuta s duljinama stranicama $a$, $b$ i $c$, dokažite nejednakost $$ \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\geq 4\left(\sin^2\frac{\alpha }{2}+\sin ^2\frac{\beta }{2} +\sin ^2\frac{\gamma}{2}\right). $$

%V0 U trokutu $ABC$ duljine stranica su $|AB|=20$, $|AC|=21$ i $|BC|=29$. Točke $D$ i $E$ su na stranici $\overline{BC}$ takve da je $|BD|=8$ i $|EC|=9$. Odredite veličinu kuta $\angle DAE$.

%V0 U jednakostraničnom trokutu $ABC$ dane su točke $D\in \overline{AB}$ i $E\in \overline{BC}$ takve da je $|AD|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|AB|$ i $|BE|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|BC|$. Pravci $AE$ i $CD$ sijeku se u točki $P$. Koliki je kut $\angle BPC$?

%V0 neka je $I$ tocka na simetrali kuta $\angle BAC$ trokuta $ABC$, a $M$ i $N$ redom tocke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, takve da je $\angle ABI = \angle NIC$ i $\angle ACI = \angle MIB$. dokazite da je $I$ srediste upisane kruznice trokuta $ABC$ ako i samo ako su tocke $M$, $N$ i $I$ kolinearne.