Školjka

%V0 U pravokutnom trokutu težišnica i simetrala pravog kuta dijele hipotenuzu na tri dijela čije duljine, u nekom poretku, čine aritmetički niz. Odredi sve moguće omjere duljina kateta tog trokuta. [i]Tri broja čine aritmetički niz ako je suma najmanjeg i najvećeg jednaka dvostrukom srednjem broju.[/i]

%V0 Jedno od žarišta (fokusa) elipse $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ je žarište parabole $y^2=2px$, a pravac $3x-5y+25=0$ je njihova zajednička tangenta. Dokaži da je trokut kojeg određuju zajedničko žarište i dva dirališta tangente pravokutan.

%V0 Ako su duljine stranica trokuta tri uzastopna člana aritmetičkog niza, dokaži da su tada kotangensi polovičnih kutova tog trokuta također uzastopni članovi nekog aritmetičkog niza.

%V0 Nađite duljinu zajedničke tetive kružnica $$ x^2+y^2-2x-4y-4=0\quad \text{i}\quad x^2+y^2-3x+4y=0. $$ Koliko ima zajedničkih tangenata? Nađite njihove jednadžbe, kao i udaljenosti između njihovih dirališta s kružnicama.

%V0 Neka su točke $A_i(x_i,y_i),\quad i=1, 2, 3, 4$ na hiperboli $xy=1.$ Dokažite tvrdnju: ako su sve četiri točke na istoj kružnici, onda je $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4=1$.

%V0 Pravci $x + y + 4 = 0$ i $7x - y + 4 = 0$ tangente su kružnice čije je središte na pravcu $4x + 3y - 2 = 0$. Nađite jednadžbu te kružnice.