Školjka

%V0 U pravokutnom trokutu težišnica i simetrala pravog kuta dijele hipotenuzu na tri dijela čije duljine, u nekom poretku, čine aritmetički niz. Odredi sve moguće omjere duljina kateta tog trokuta. [i]Tri broja čine aritmetički niz ako je suma najmanjeg i najvećeg jednaka dvostrukom srednjem broju.[/i]

%V0 Ako točka $P$ opisuje elipsu čiji su fokusi $F_1$ i $F_2$, koju krivulju opisuje težište trokuta $F_1 F_2P$?

%V0 Na krivulji s jednadžbom $y=x^4-2x^2$ nalaze se $4$ različite točke $T_k=(x_k,y_k)$, $k=1,2,3,4$. Ako točke $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ leže na jednom pravcu, dokažite da je $x_1+x_2+x_3+x_4=0$.

%V0 Na elipsi sa središtem $O$ nalaze se točke $A$ i $B$ takve da je $\angle AOB=90^\circ$. Dokažite da udaljenost točke $O$ od pravca $AB$ ovisi samo o duljinama poluosi elipse.

%V0 Nađite geometrijsko mjesto točaka iz kojih se na elipsu $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $ mogu povući dvije uzajamno okomite tangente.

%V0 Odredite jednadžbu pravca $p$ koji prolazi točkom $T(-1,\,1)$, a polovište segmenta kojeg na $p$ odsjecaju pravci $x + 2y - 1 = 0$ i $x + 2y - 3 = 0$ leži na pravcu $x - y - 1 = 0$.