Školjka

%V0 Kružnica sa središtem $O$ dira stranicu $\overline{BC}$ i produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ redom u točkama $K$, $P$ i $Q$. Dužine $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ sijeku spojnicu $\overline{PQ}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokažite da je $$\frac{|QN|}{|AB|} = \frac{|MN|}{|BC|} = \frac{|MP|}{|CA|} \text{.}$$

%V0 Ako za trokute s duljinama stranica $a$, $b$, $c$ i $a^\prime$, $b^\prime$, $c^\prime$ te nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i $\alpha^\prime$, $\beta^\prime$, $\gamma^\prime$ vrijede jednakosti $\alpha + \alpha^\prime = \pi$ i $\beta = \beta^\prime$, dokažite da vrijedi i jednakost $aa^\prime = bb^\prime + cc^\prime$.

%V0 Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1, O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$, $CAU$ i $ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.

%V0 Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

%V0 Upisana kružnica dodiruje stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravca $MN$ i simetrale kuta $\angle{ABC}$. Dokaži da je $BP \perp CP$.

%V0 U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$, a simetrala kuta $\angle{ABC}$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$ tako da je $\left\vert BC \right\vert = \left\vert BD \right\vert + \left\vert AD \right\vert$. Odredi kutove tog trokuta.