Školjka

%V0 Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1$, $A_2$, ..., $A_{11}$. Udaljenosti oblika $d\!\left(A_i,\,A_{i+2}\right)$, ($i=1,\,2,\,\ldots,\,9$) nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d\!\left(A_i,\,A_{i+3}\right)$, ($i=1,\,2,\,\ldots,\,8$) nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d\!\left(A_2,\,A_7\right)$?

%V0 u zavisnosti o parametru $a$ nadite rjesenja jednadbe $x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0$ za koje realne brojeve $a$ su sva rjesenja realna?

%V0 Nađite sve parove realnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $(2x + 1)^2 + y^2 + (y - 2x)^2 = \frac{1}{3}$.

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Može li se svaki niz realnih brojeva prikazati kao unija konačno mnogo monotonih nizova? Svoju tvrdnju dokažite.

%V0 Za sustav novčanica $1 = n_1 < n_2, ... < n_k$ kažemo da je dobar ako "greedy" postupak vraćanja novca uvijek rezultira s najmanjim brojem isplaćenih novčanica. Dokažite da je sustav $1 < b < a$ dobar ako i samo ako postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $\lceil\frac{a}{k}\rceil = b$. [i]Napomena: U greedy postupku u svakom koraku vraćamo najviše moguće najvećih mogućih novčanica. Nadalje, $\lceil x\rceil$ označava najmanji cijeli broj veći od (ili jednak) $x$.[/i]