Školjka

%V0 Zadan je trokut $ABC$ s visinama $h_a$, $h_b$, $h_c$. Sjecišta simetrala kutova s nasuprotnim stranicama označimo s $D$, $E$, $F$, a udaljenosti točaka $D$, $E$, $F$ od pravaca $AB$, $BC$, $CA$ redom sa $d_a$, $d_b$, $d_c$. Dokažite nejednakost $$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} \geqslant \frac32 \text{.}$$

%V0 Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a\text{.}$$

%V0 Za pozitivne brojeve $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $n \geq 2$ označimo $a_1 + a_2 + \dots + a_n = s$. Dokažite nejednakost $$\dfrac{a_1}{s - a_1} + \dfrac{a_2}{s - a_2} + \dots + \dfrac{a_n}{s - a_n} \geq \dfrac{n}{n - 1}\text{.}$$

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi veći od $1$, dokažite da za svaki realni broj $r$ vrijedi nejednakost $$(\log_{a}{bc})^r + (\log_{b}{ca})^r + (\log_{c}{ab})^r \geq 3\cdot2^r\text{.}$$

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Odredi najveću vrijednost realne konstante $\lambda$ takve da za sve pozitivne realne brojeve $u$, $v$, $w$ za koje je $u\sqrt{vw} + v\sqrt{wu} + w\sqrt{uv} \geqslant 1$ vrijedi nejednakost $u + v + w \geqslant \lambda$.