Slični zadaci

Državno natjecanje 2000 SŠ2 3

Neka su $j$ i $k$ prirodni brojevi. Dokažite da nejednakost

$\lfloor (j + k)\alpha \rfloor + \lfloor (j + k)\beta \rfloor \geq \lfloor j\alpha \rfloor + \lfloor j\beta \rfloor + \lfloor k(\alpha + \beta) \rfloor$
vrijedi za sve realne brojeve $\alpha$ i $\beta$ ako i samo ako je $j = k$ .

( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ .)

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2000 SŠ4 4

Neka je $S = \{k \in \mathbb{N} : a \in \mathbb{N}, a^2|k \Rightarrow a = 1 \}$ i $n \in \mathbb{N}$ . Dokažite da je

$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$
( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ .)

Državno natjecanje 2000 SŠ3 4

Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost

$\lfloor \log_{2}{n} \rfloor + \lfloor \log_{3}{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \log_{n}{n} \rfloor = \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor.$
( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ .)

Državno natjecanje 2006 SŠ2 4

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$ . Na koliko je načina to moguće napraviti?

Državno natjecanje 2001 SŠ2 4

Neka je $P$ poligon u koordinatnom sustavu u ravnini čija je površina veća od $1$ . Dokažite da postoje dvije različite točke $(x_1,\,y_1)$ i $(x_2,\,y_2)$ poligona $P$ takve da su $x_1 - x_2$ i $y_1 - y_2$ cijeli brojevi.

Državno natjecanje 2000 SŠ2 2

Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruiraju se kvadrat $ACXE$ i $CBDY$ . Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$ .

Državno natjecanje 2000 SŠ1 3

Neka je $m \geqslant 2$ prirodan broj. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba $\left\lfloor{\vphantom{\frac{x}{m-1}}\frac{x}{m}}\right\rfloor = \left\lfloor{\frac{x}{m-1}}\right\rfloor \text{?}$
( $\left\lfloor x \right\rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ .)