Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi takvi da je $\left\vert a \right\vert = \left\vert b \right\vert = \left\vert c \right\vert = 1$. a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left\vert \frac{bc+ca+ab}{a+b+c} \right\vert = 1 \text{.}$$ b) Pokažite da je $$\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}$$ realan broj.

%V0 Neka su $j$ i $k$ prirodni brojevi. Dokažite da nejednakost $$\lfloor (j + k)\alpha \rfloor + \lfloor (j + k)\beta \rfloor \geq \lfloor j\alpha \rfloor + \lfloor j\beta \rfloor + \lfloor k(\alpha + \beta) \rfloor$$ vrijedi za sve realne brojeve $\alpha$ i $\beta$ ako i samo ako je $j = k$. ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Neka je $N$ prirodan broj. Dano je $N$ trojki cijelih brojeva $r_j$, $s_j$, $t_j$, za $1 \leq j \leq N$, takvih da je barem jedan od njih neparan. Pokažite da postoje cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $ar_j + bs_j + ct_j$ neparan, za barem $\dfrac{4N}{7}$ različitih indeksa $j$.

%V0 Brojevi $(p_n)$ za $n \in \mathbb{N}$ definirani su na sljedeći način: $p_1 = 2$ i za $n \geq 2$, $p_n$ je najveći prosti djelitelj od $p_1p_2 \dots p_{n-1} + 1$. Dokažite da je $p_n \not= 5$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.